数值分析第三版课本习题与答案解析.doc

第一章绪论
设x>0,x的相对误差为δ,求的误差.
设x的相对误差为2%,求的相对误差.
下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字:
利用公式()求下列各近似值的误差限:
其中均为第3题所给的数.
计算球体积要使相对误差限为1%,问度量半径R时允许的相对误差限是多少?
设按递推公式
( n=1,2,…)
≈(五位有效数字),试问计算将有多大误差?
求方程的两个根,使它至少具有四位有效数字(≈).
当N充分大时,怎样求?
正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝?
设假定g是准确的,而对t的测量有±,证明当t增加时S的绝对误差增加,而相对误差却减小.
序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程稳定吗?
计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?
,求f(30),问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式
计算,求对数时误差有多大?
试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果是否可靠?
已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c 的误差分别为证明面积的误差满足
第二章插值法
根据()定义的范德蒙行列式,令
证明是n次多项式,它的根是,且
.
当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)的二次插值多项式.
给出f(x)=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算ln 的近似值.
x





lnx
-
-
-
-
-
给出cos x,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.
设,k=0,1,2,3,求.
设为互异节点(j=0,1,…,n),求证:
设且,求证
在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求的近似值,要使截断误差不超过,问使用函数表的步长应取多少?
若,求及.
如果是次多项式,记,证明的阶差分是次多项式,并且为正整数).
证明.
证明
证明
若有个不同实根,证明
证明阶均差有下列性质:
若,则;
若,则.
,求及.
证明两点三次埃尔米特插值余项是
并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.
求一个次数不高于4次的多项式,使它满足并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.
试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式,以便使它能够满足以下边界条件,,.
设,把分为等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数并证明当时,在上一致收敛到.
设,在上取,按等距节点求分段线性插值函数,计算各节点间中点处的与的值,并估计误差.
求在上的分段线性插值函数,并估计误差.
求在上的分段埃尔米特插值,并估计误差.
给定数据表如下:










试求三次样条插值并满足条件
若,是三次样条函数,证明
;
若,式中为插值节点,且,则.
编出计算三次样条函数系数及其在插值节点中点的值的程序框图(可用()式的表达式).
第三章函数逼近与计算
(a)利用区间变换推出区间为的伯恩斯坦多项式.
(b)对在上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较.
求证:
(a)当时,. (b)当时,.
在次数不超过6的多项式中,求在的最佳一致逼近多项式.
假设在上连续,求的零次最佳一致逼近多项式.
选取常数,使达到极小,又问这个解是否唯一?
求在上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.
求在上的最佳一次逼近多项式.
如何选取,使在上与零偏差最小?是否唯一?
设,在上求三次最佳逼近多项式.
令,求.
试证是在上带权的正交多项式.
在上利用插值极小化求1的三次近似最佳逼近多项式.
设在上的插值极小化近似最佳逼近多项式为,若有界,证明对任何,存在常数、,使
设在上,试将降低到3次多项式并估计误差.
在上利用幂级数项数求的3次逼近多项式,.
是上的连续奇(偶)函数,证明不管是奇数或偶数,的最佳逼近多项式也是奇(偶)函数.
求、.
、,定义
问它们是否构成内积?
用许瓦兹不等式()估计的上界,并