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文档介绍
第十节
一、最值定理
二、介值定理
闭区间上连续函数的性质
第一章
注意: 若函数在开区间上连续,
结论不一定成立.
一、最值定理
即: 设
则
使
值和最小值.
或在闭区间内有间断
在该区间上一定有最大
(证明略)
点,
例如,
无最大值和最小值
也无最大值和最小值
又如,
推论.
由定理 1 可知有
证: 设
上有界.
二、介值定理
定理2. ( 零点定理)
至少有一点
且
使
( 证明略)
在闭区间上连续的函数在该区间上有界.
定理3. ( 介值定理)
设
且
则对 A 与 B 之间的任一数 C ,
一点
证: 作辅助函数
则
且
故由零点定理知, 至少有一点
使
即
推论:
使
至少有
在闭区间上的连续函数
必取得介于最小值与最
大值之间的任何值.
例1. 证明方程
一个根.
证: 显然
又
故据零点定理, 至少存在一点
使
即
说明:
内必有方程的根;
取
的中点
内必有方程的根;
可用此法求近似根.
二分法
在区间
内至少有
则
则
例4 设
证假设
则至少
则至少
与已知矛盾,故
例5
证
一、最值定理
二、介值定理
闭区间上连续函数的性质
第一章
注意: 若函数在开区间上连续,
结论不一定成立.
一、最值定理
即: 设
则
使
值和最小值.
或在闭区间内有间断
在该区间上一定有最大
(证明略)
点,
例如,
无最大值和最小值
也无最大值和最小值
又如,
推论.
由定理 1 可知有
证: 设
上有界.
二、介值定理
定理2. ( 零点定理)
至少有一点
且
使
( 证明略)
在闭区间上连续的函数在该区间上有界.
定理3. ( 介值定理)
设
且
则对 A 与 B 之间的任一数 C ,
一点
证: 作辅助函数
则
且
故由零点定理知, 至少有一点
使
即
推论:
使
至少有
在闭区间上的连续函数
必取得介于最小值与最
大值之间的任何值.
例1. 证明方程
一个根.
证: 显然
又
故据零点定理, 至少存在一点
使
即
说明:
内必有方程的根;
取
的中点
内必有方程的根;
可用此法求近似根.
二分法
在区间
内至少有
则
则
例4 设
证假设
则至少
则至少
与已知矛盾,故
例5
证
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