离散数学(刘任任版)第2章答案.ppt

****题二
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1.
(1). R={<1,1>,<1,3>,<3,1>,<3,3>}
(2). R={<1,0>,<2,1>,<4,2>,<8,3>}
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2.
设R是定义在集合A上的二元关系。
(1). 设A= ,则R= 既是自反的又是反自反的.
(2). 令A={1,2},R={<1,1>},于是R既不是自反又不是反自反的;
(3). 令A={1,2},R={<1,1>,<2,2>},于是R既是对称又是反对称的;
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(4). 令A={1,2,3},R={<1,2>,<2,1>,<1,3>},
于是R既不是对称又不是反对称的。
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3.
设A={X1,X2 ,…,Xn},于是定义在A上的二元关系R中的元素来自于下列矩阵:
<x1,x1> <x1,x2> …<x1,xn>
<x2,x1> <x2,x2> …<x2,xn>
….
<xn,x1> <xn,x2> …<xn,xn>
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(1)共有2n2 种定义在A上的不同的二元关系;
说明: ∵|A|=n ∴|A×A|=n2
∴|β(A×A)|=2n2
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(2)共有种定义在A上的不同的自反关系;说明: ∵A上的自反关系必须满足所有形如<x,x>的序偶包含在关系中,而形如<x,x>的序偶有n个。即|A×A-{<x,x>}|=n2-n
∴在构造A上的自反关系的时候可以先将所有的<x,x>放到这些关系中再考虑其他序偶的组合。即|β(A×A-{<x,x>})|=2n2-n
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(3)共有种定义在A上的不同的反自反关系;说明: ∵A上的反自反关系必须满足所有形如<x,x>的序偶不能包含在关系中,
∴在构造A上的反自反关系的时候可以先将所有的<x,x>拿出后再考虑其他序偶的组合。即β(A×A-{<x,x>})=2n2-n
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(4)共有种定义在A上的不同的对称关系;
说明: ∵A上的对称关系必须满足:如果<x,y>在这个关系中,则<y,x>也必须在这个关系中。
∴在构造A上的对称关系的时候可以先将所有的<x,y>和<y,x>(其中x≠y)看成是一个整体。
∴要考虑的序偶的个数有:
n+(n2-n)/2=n(n+1)/2
∴β({<x,x>}+(A×A-{<x,x>})/2)=2(n2+n)/2
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(5)共有种定义在A上的不同
的反对称, 其中, 。
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