2-5有限元法在流体力学中的应用.doc

本章介绍有限元法在求解理想流体在粘性流体运动中的应用。讨论了绕圆柱体、翼型和轴对称物体的势流,分析了求解粘性流动的流函数—涡度法流函数法和速度—压力法,同时导出粘性不可压流体的虚功原理。
§1 不可压无粘流动
真实流体是有粘性和可压缩的,理想不可压流体模型使数学问题简化,又能较好地反映许多流动现象。
1. 圆柱绕流
本节详细讨论有限无法的解题步骤。—1所示。为了减小计算工作量,根据流动的对称性可取左上方的l/4流动区域作为计算区域。
选用流函数方法,则流函数应满足以下Laplace方程和边界条件
(5-1)
将计算区域划分成10个三角形单元。单元序号、—2所示。
从剖分图上所表示的总体结点号与单元结点号的关系,可以建立联缀表于下
元素序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总体结点号
n1
1
4
4
4
2
2
6
6
5
5
n2
4
5
9
8
6
5
7
10
10
9
n3
2
2
5
9
3
6
3
7
8
10
表5-1
各结点的坐标值可在图5—2上读出。如果要输入计算机运算必须列表。本质边界结点号与该点的流函数值列于下表
边界结点号n
1
2
3
4
8
9
10
流函数Φ
2
2
2
1
0
0
0
表5-2
选用平面线性三角形元素,插值函数为(3—15)式。对二维Laplace方程进行元素分析,得到了单元系数矩阵计算公式(3—19)和输入向量计算公式(3—20)。现在对全部元素逐个计算系数矩阵。
例如元素1,其结点坐标为=0, =2; =0, =1; =, =2.
由(3—15)式可得
;
,
; ;
;
从(3—19)式可计算出
依次可计算出全部子矩阵
根据联缀表把元素矩阵组合成总体系数矩阵
A=
矩阵中零元素没有一一写出,下三角部分与上三角部分对称。
从(3—20)式计算元素输入向量,由于流函数满足齐次的自然边界条件,所以输入向量为零,总体输入向量也为零,这样就得了总体有限元方程.
式中:
用缩减方程的重新编号修正方法施加边界条件,本质边界结点的函数值是已知的。把它们代入方程,修正右端项,再减去相应的方程,整理得
解方程得到
=,=,=
这样求出了全部结点上的流函数。为了求出每个单元形心处的速度,可以由单元的流函数近似表达式求导计算。对元素e来
说,有
例如单元=2, =1, =3,这样计算得到的速度为u=1,=0。
二维绕圆柱流动还可以用势函数求解,则定解问题可写成
表示势函数,为了使数值解唯一必须在部分边界上给定本质边界条件。势函数边界同样标记在图5—l上。势因数满足Laplace方程和相应的边界条件,与流函数不同仅在于有非齐次的自然边界条件。采用与流函数方法完全一样的网格划分,可知计算得到的单元系数矩阵是完全一样的,总体矩阵也是完全一样的。
(3—20)式计算输入向量。
元素l, 。元素4, 。总体合
成得到,这样就得到方程组
巳知,消去相应的三个方程得到一个7×7的
代数方程组,解得
单元形心处的速度可以用下列公式计算
式中是单元的结点势函数向量。对于元素1来说, ,这样计算得到u=,v=-。这结果与流函数方法得到的结果近似相等。如果加密网格,就可以得到更好的结果。
2. 升力问题
考虑图5—3(a)所示的机翼绕流。均匀来流平行于x轴,机翼边界为,后缘尖点为,流场外边界取在离机翼足够远处。流函数满足以下方程和边界条件。
(5-3)
其中a,b是特定系数,h是上下边界之间的距离。机翼绕流的后驻点应位于后缘尖点处,在后缘T点满足Kutta条件
;; (5-4)
由于方程和边界条件是线性的,可用叠加原理求解,令
(5-5)
其中,和:分别是下列问题的解
用有限元方法分别解以上三个问题,得到各结点的、和,代入(5—5)式得到叠加解。显然它满足问题(5—3)的全部方程和边界条件,特定常数a,b可利用Kutta条件(5—4)定出。
首先由流函数、和分别求出各个结点上的速度,和,然后在后缘点T处利用Kutta条件,应有
解之可得到a和b。
图5—3(b)上给出了NACA4412具型以攻角置于均匀流场中所引起的流动图案,计算中采用了三角形单元。
与无升力体绕流一样,机具绕流也可以采用速度势函数求解.

考虑圆管内绕轴对称物体的无旋流动,如图5—4(a)所示。采用柱