容斥原理之重叠问题(一).教师版.doc

7-7-(一)
教学目标
了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容;
掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用.
知识要点
一、两量重叠问题
在一些计数问题中,,不能简单地把两个集合的元素个数相加,而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数,即减去交集的元素个数,用式子可表示成:(其中符号“”读作“并”,相当于中文“和”或者“或”的意思;符号“”读作“交”,相当于中文“且”的意思.)则称这一公式为包含与排除原理,:表示小圆部分,表示大圆部分,表示大圆与小圆的公共部分,记为:,:表示小圆部分,表示大圆部分,表示大圆与小圆的公共部分,记为:,即阴影面积.
——
重叠部分计算了次,多加了次;
——
把多加了次的重叠部分减去.

包含与排除原理告诉我们,要计算两个集合的并集的元素的个数,可分以下两步进行:
第一步:分别计算集合的元素个数,然后加起来,即先求(意思是把的一切元素都“包含”进来,加在一起);
第二步:从上面的和中减去交集的元素个数,即减去(意思是“排除”了重复计算的元素个数).
二、三量重叠问题
类、类与类元素个数的总和类元素的个数类元素个数类元素个数既是类又是类的元素个数既是类又是类的元素个数既是类又是类的元素个数同时是类、类、:.图示如下:
图中小圆表示的元素的个数,中圆表示的元素的个数,大圆表示的元素的个数.
:
重叠部分、、重叠了次,多加了次.
:
重叠部分重叠了次,但是在进行计算时都被减掉了.
:.
在解答有关包含排除问题时,我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考.
例题精讲
两量重叠问题
小明喜欢:踢足球、上网、游泳、音乐、语文、数学;小英喜欢:数学、英语、音乐、陶艺、跳绳。用圆A、圆B分别表示小明、小英的爱好,如图所示,则图中阴影部分表示________。
【考点】两量重叠问题【难度】1星【题型】填空
【关键词】希望杯,四年级,二试,第3题
阴影部分是两人都爱好的:数学、音乐
【答案】数学、音乐
四(1)班全体同学站成一排,当从左向右报数时,小华报:18;当从右向左报数时,小华报:。
【考点】两量重叠问题【难度】1星【题型】填空
【关键词】希望杯,四年级,二试,第2题
该班学生人数为:(名)。
【答案】名
实验小学四年级二班,参加语文兴趣小组的有人,参加数学兴趣小组的有人,?
【考点】两量重叠问题【难度】1星【题型】解答
如图所示,圆表示参加语文兴趣小组的人,圆表示参加数学兴趣小组的人,与重合的部分(阴影部分),有(人);图中圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人,有(人).
方法一:由此得到参加语文或数学兴趣小组的有:(人).
方法二:根据包含排除法,直接可得:
参加语文或数学兴趣小组的人参加语文兴趣小组的人参加数学兴趣小组的人两