线性代数知识点归纳(同济 第五版).doc

线性代数知识点归纳(同济_第五版)线性代数复****要点
第一部分行列式
1. 排列的逆序数
2. 行列式按行(列)展开法则
3. 行列式的性质及行列式的计算
行列式的定义
行列式的计算:
①(定义法)

②(降阶法)行列式按行(列)展开定理:
行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.
推论:行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.

③(化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.
④若都是方阵(不必同阶),则
例计算
解=
⑤关于副对角线:
⑥范德蒙德行列式:
例计算行列式
⑦型公式:
⑧(升阶法)在原行列式中增加一行一列,保持原行列式不变的方法.
⑨(递推公式法) 对阶行列式找出与或,之间的一种关系——称为递推公式,其中
,,等结构相同,再由递推公式求出的方法称为递推公式法.
(拆分法) 把某一行(或列)的元素写成两数和的形式,再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和,
使问题简化以例计算.
⑩(数学归纳法)
2. 对于阶行列式,恒有:,其中为阶主子式;
3. 证明的方法:
①、;
②、反证法;
③、构造齐次方程组,证明其有非零解;
④、利用秩,证明;
⑤、证明0是其特征值.
4. 代数余子式和余子式的关系:
第二部分矩阵
矩阵的运算性质
矩阵求逆
矩阵的秩的性质
矩阵方程的求解
矩阵的定义由个数排成的行列的表称为矩阵.
记作:或
 同型矩阵:两个矩阵的行数相等、列数也相等.
‚ 矩阵相等: 两个矩阵同型,且对应元素相等.
ƒ 矩阵运算
a. 矩阵加(减)法:两个同型矩阵,对应元素相加(减).
b. 数与矩阵相乘:数与矩阵的乘积记作或,规定为.
c. 矩阵与矩阵相乘:设, ,则,
其中

注:矩阵乘法不满足:交换律、消去律, 即公式不成立.
a. 分块对角阵相乘:,
b. 用对角矩阵乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的向量;
c. 用对角矩阵乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的向量.
d. 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.
④方阵的幂的性质:,
⑤矩阵的转置:把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵,叫做的转置矩阵,记作.
a. 对称矩阵和反对称矩阵: 是对称矩阵.
是反对称矩阵.
b. 分块矩阵的转置矩阵:
⑥伴随矩阵: ,为中各个元素的代数余子式.
,, .
分块对角阵的伴随矩阵:
矩阵转置的性质:
矩阵可逆的性质:
伴随矩阵的性质:
(无条件恒成立)
2. 逆矩阵的求法方阵可逆.
①伴随矩阵法:
②初等变换法
例求的逆矩阵.
解

③分块矩阵的逆矩阵:

④,
⑤配方法或者待定系数法(逆矩阵的定义)
例设方阵满足矩阵方程, 证明及都可逆, 并求及.
解由得, 故可逆, 且.
由也可得或, 故可逆, 且
.
行阶梯形矩阵可画出一条阶梯线,线的下方全为;每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数,阶梯线的竖
线后面的第一个元素非零. 当非零行的第一个非零元为1,且这些非零元所在列的其他元素都是时,
称为行最简形矩阵
初等变换与初等矩阵对换变换、倍乘变换、倍加(或消法)变换
初等变换
初等矩阵
初等矩阵的逆
初等矩阵的行列式
()
()
()
☻矩阵的初等变换和初等矩阵的关系:
 对施行一次初等变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵乘;
‚ 对施行一次初等变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵乘.
注意: 初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵.
矩阵的秩关于矩阵秩的描述:
①、,中有阶子式不为0,阶子式(存在的话) 全部为0;
②、,的阶子式全部为0;
③、,中存在阶子式不为0;
☻矩阵的秩的性质:
①≥; ;≤≤