《组合博弈入门》PPT课件.ppt

组合博弈入门
蔡尚真
Tel:609787
什么是组合游戏——
有两个玩家;
游戏的操作状态是一个有限的集合(比如:限定大小的棋盘);
游戏双方轮流操作;
双方的每次操作必须符合游戏规定;
当一方不能将游戏继续进行的时候,游戏结束,同时,对方为获胜方;
无论如何操作,游戏总能在有限次操作后结束;
组合博弈入门
巴什博奕(Bash Game)
威佐夫博奕(Wythoff Game)
尼姆博奕(Nimm Game)
巴什博奕(Bash Game)
只有一堆n个物品,两个人轮流从这堆物品中取物,规定每次至少取一个,最多取m个。最后取光者得胜。
思想:n=(m+1)r+s,(r为任意自然数,s≤m),那么先取者如何先取s个必胜。什么时候情况特殊?
威佐夫博奕(Wythoff Game)
有两堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜。
威佐夫博奕(Wythoff Game)
这种情况下是颇为复杂的。我们用(ak,bk)(ak ≤ bk ,k=0,1,2,…,n)表示两堆物品的数量并称其为局势,如果甲面对(0,0),那么甲已经输了,这种局势我们称为奇异局势。前几个奇异局势是:(0,0)、(1,2)、(3,5)、(4,7)、(6,10)、(8,13)、(9,15)、(11,18)、(12,20)。。可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而 bk= ak + k
威佐夫博奕(Wythoff Game)
奇异局势有如下三条性质:
1、任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。由于ak是未在前面出现过的最小自然数,所以有ak > ak-1 ,而 bk= ak + k > ak-1 + k-1 = bk-1 > ak-1 。所以性质1。成立。
2、任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。
3、采用适当的方法,可以将非奇异局势变为奇异局势。
威佐夫博奕(Wythoff Game)
假设面对的局势是(a,b),若 b = a,则同时从两堆中取走 a 个物体,就变为了奇异局势(0,0);如果a = ak ,b > bk,那么,取走b – bk个物体,即变为奇异局势;如果 a = ak , b < bk ,则同时从两堆中拿走 ak – a[b – ak])个物体,变为奇异局势( a[b – ak] , a[b – ak]+ b – ak);如果a > ak ,b= ak + k,则从第一堆中拿走多余的数量a – ak 即可;如果a < ak ,b= ak + k,分两种情况,第一种,a=aj (j < k),从第二堆里面拿走 b – bj 即可;第二种,a=bj (j < k),从第二堆里面拿走 b – aj 即可。
尼姆博奕(Nimm Game)
有三堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆取任意多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜。
思考:各个数之间二进制异或非零必胜?
概念:必败点和必胜点(P点& N点)
必败点(P点) :前一个选手(Previous player)将取胜的位置称为必败点。通俗说就是先手必败点。
必胜点(N点) :下一个选手(Next player)将取胜的位置称为必胜点。