成人高考专升本高数一复习资料.doc

第一章极限和连续
第一节极限
[复****考试要求]
(对极限定义、、等形式的描述不作要求)。会求函数在一点处的左极限与右极限,了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。
,掌握极限的四则运算法则。
、无穷大量的概念,掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较(高阶、低阶、同阶和等价)。会运用等价无穷小量代换求极限。
。
[主要知识内容]
(一)数列的极限

按一定顺序排列的无穷多个数
称为数列,记作,其中每一个数称为数列的项,第n项。为数列的一般项或通项,例如
(1)1,3,5,…,,…
(2)
(3)
(4)1,0,1,0,…,…
都是数列。
在几何上,数列可看作数轴上的一个动点,它依次取数轴上的点。

定义对于数列,如果当时,无限地趋于一个常数A,则称当n趋于无穷大时,数列以常数A为极限,或称数列收敛于A,记作
否则称数列没有极限,如果数列没有极限,就称数列是发散的。
数列极限的几何意义:将常数A及数列的项依次用数轴上的点表示,若数列以A为极限,就表示当n趋于无穷大时,点可以无限靠近点A。
(二)数列极限的性质
(惟一性)若数列收敛,则其极限值必定惟一。
(有界性)若数列收敛,则它必定有界。
注意:这个定理反过来不成立,也就是说,有界数列不一定收敛。
(两面夹定理)若数列,,满足不等式且。
,则它必有极限。
下面我们给出数列极限的四则运算定理。

(1)
(2)
(3)当时,
(三)函数极限的概念

(1)当时的极限
定义对于函数,如果当x无限地趋于时,函数无限地趋于一个常数A,则称当时,函数的极限是A,记作或(当时)
(2)当时的左极限
定义对于函数,如果当x从的左边无限地趋于时,函数无限地趋于一个常数A,则称当时,函数的左极限是A,记作或
例如函数
当x从0的左边无限地趋于0时,:当时,的左极限是1,即有
(3)当时,的右极限
定义对于函数,如果当x从的右边无限地趋于时,函数无限地趋于一个常数A,则称当时,函数的右极限是A,记作
或
又如函数
当x从0的右边无限地趋于0时,无限地趋于一个常数-1 。因此有
这就是说,对于函数
当时,的左极限是1,而右极限是-1,即
但是对于函数,当时,的左极限是2,而右极限是2。

显然,函数的左极限、右极限与函数的极限之间有以下关系:
当时,函数的极限等于A的必要充分条件是
这就是说:如果当时,函数的极限等于A,则必定有左、右极限都等于A。
反之,如果左、右极限都等于A,则必有。
这个结论很容易直接由它们的定义得到。
以上讲的是当时,函数的极限存在的情况,对于某些函数的某些点处,当时,的极限也可能不存在。
,函数的极限
(1)当时,函数的极限
定义对于函数,如果当时,无限地趋于一个常数A,则称当时,函数的极限是A,记作或(当时)
(2)当时,函数的极限
定义对于函数,如果当时,无限地趋于一个常数A,则称当时,函数的极限是A,