曲线积分和曲面积分期末复习题高等数学下册(上海电机学院).doc

第十章曲线积分与曲面积分答案
一、选择题
,其中有一阶连续偏导数,且,则 B
A. B. C.
,则 C

,则 D
A. B. D.
,则 D
B. C. D.
,则 C
A. B. C. D.
6. 设为球面,则曲面积分的值为[ B ]
A. B. C. D.
7. 设L是从O(0,0)到B(1,1)的直线段,则曲线积分[ C ]
A. B. C. D.
8. 设I= 其中L是抛物线上点(0, 0)与点(1, 1)之间的一段弧,
则I=[D ]
A. B. C. D.
9. 如果简单闭曲线所围区域的面积为,那么是( D )
A. ; B. ;
C. ; D. 。
,为在第一卦限中部分,则有 C
A. B.
C. D.
二、填空题
1. 设L是以(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)为顶点的正方形边界正向一周,则曲线积分-2
,则0
3. =
,其中是圆心在原点,半径为的圆周,则积分值为
∑为上半球面,则曲面积分= 32π
6. 设曲线为圆周,则曲线积分.
7. 设C是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形边界,则曲线积分1+
8. 设为上半球面,则曲面积分的值为。
9. 光滑曲面z=f(x,y)在xoy平面上的投影区域为D,则曲面z=f(x,y)的面积是
,则曲线积分 12
11、
。
12、设为的正向,则。
三、计算题
1.,其中为圆周,直线及x轴在第一象限所围图形的边界。
解:记线段方程,圆弧方程
线段方程。
则原式=++=++
= #
2.,其中为曲线与直线段所围闭区域的正向边界。
解:利用格林公式,,,则
,
故原式= = #
3.,其中为圆周的上半部分,的方向为逆时针。
解:的参数方程为,从0变化到。
故原式=
== #
。
解:曲面的方程为,这里为在XOY平面的投影区域。
故所求面积=
#
5、计算,其中为圆的上半圆周,方向为从点沿到原点O。
解:添加从原点到点A的直线段后,闭曲线所围区域记为D,利用格林公式
,,,
于是+
=
而=,于是便有
= #
6.,其中为球面在第一
卦限部分的边界,当从球面外看时为顺时针。
解:曲线由三段圆弧组成,设在YOZ平面内的圆弧的参数方程
,从变化到0。
于是
==
由对称性即得
#
7.,其中为平面所围立体的表面的外侧。
解:记为该表面在XOY平面内的部分,为该表面在YOZ平面内的部分,
为该表面在XOZ平面内的部分,为该表面在平面内的部分。
的方程为,根据定向,我们有
==
同理,
的方程为,故
,
由对称性可得
,
故
于是所求积分为#
:,其中
为曲面的外侧。
解:利用高斯公式,所求积分等于==8 #
9. 计算I=,其中S为x+y+z=1, x=0, y=0, z=0所围立
体的表面外侧
解:设V是x+y+z=1, x=0, y=0, z=0所围的立体
由Gass公式得:
I=
=
= #
=,其中是从点A(3, 2, 1)到点B(0, 0, 0)
的直线段AB
解:直线段AB的方程是;化为参数方程得:
x=3t, y=2t, z=t, t从1变到0,
所以:
I=
== #
11. 计算曲线积分I= 其中是由点A(a,0)至点O(0, 0) 的上半圆周
解:在x轴上连接点O(0, 0), A(a, 0)
将扩充成封闭的半圆形AMOA
在线段OA上,
从而
又由Green公式得:
#
12. 计算曲线积分其中L是z=2与z=3 的交线沿着曲线的正向看是逆时针方向
解:将L写成参数方程:
x=cost, y=sint, z=2 t: 0
于是: = =
另证:由斯托克斯公式得
=
上侧,则:
#
设曲面S为平面x+y+z=1在第一卦限部分,计算曲面S的面积I
解:S在xoy平面的投影区域为:
I==== #
14. 计算曲线积分其中L是沿着圆从点A(0,1)到点B(2, 1)的上半单位圆弧
解:设,
当时,
故:所求曲线积分在不包围原点的区域内与路径无关
则:=
= =ln5-arctan2 #
15. 确定的