圆与方程知识点总结典型例题.doc

圆与方程
1. 圆的标准方程:以点为圆心,为半径的圆的标准方程是.
特例:圆心在坐标原点,半径为的圆的方程是:.
2. 点与圆的位置关系:
(1). 设点到圆心的距离为d,圆半径为r:
d<r; d=r; d>r
(2). 给定点及圆.
①在圆内
②在圆上
③在圆外
(3)涉及最值:
圆外一点,圆上一动点,讨论的最值
圆内一点,圆上一动点,讨论的最值


思考:过此点作最短的弦?(此弦垂直)
3. 圆的一般方程: .
(1) 当时,方程表示一个圆,其中圆心,半径.
(2) 当时,方程表示一个点.
(3) 当时,方程不表示任何图形.
注:方程表示圆的充要条件是:且且.
直线与圆的位置关系:
直线与圆
圆心到直线的距离
1);
2);
3);弦长|AB|=2
还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组求解,通过解的个数来判断:
(1)当时,直线与圆有2个交点,,直线与圆相交;
(2)当时,直线与圆只有1个交点,直线与圆相切;
(3)当时,直线与圆没有交点,直线与圆相离;
5. 两圆的位置关系
(1)设两圆与圆,
圆心距
;
;
;
;
;

外离外切相交内切
(2)两圆公共弦所在直线方程
圆:,
圆:,
则为两相交圆公共弦方程.
补充说明:
若与相切,则表示其中一条公切线方程;
若与相离,则表示连心线的中垂线方程.
(3)圆系问题
过两圆:和:交点的圆系方程为()
补充:
上述圆系不包括;
2)当时,表示过两圆交点的直线方程(公共弦)
过直线与圆交点的圆系方程为
6. 过一点作圆的切线的方程:
过圆外一点的切线:
①k不存在,验证是否成立
②k存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,即
求解k,得到切线方程【一定两解】
例1. 经过点P(1,—2)点作圆(x+1)2+(y—2)2=4的切线,则切线方程为。
(2) 过圆上一点的切线方程:圆(x—a)2+(y—b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),
则过此点的切线方程为(x0—a)(x—a)+(y0—b)(y—b)= r2
特别地,过圆上一点的切线方程为.
(—4,—8)点作圆(x+7)2+(y+8)2=9的切线,则切线方程为。

(1)过⊙C:外一点作⊙C的两条切线,切点分别为,则切点弦所在直线方程为:
8. 切线长:
若圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则过圆外一点P(x0,y0)的切线长为 d=.
9. 圆心的三个重要几何性质:
圆心在过切点且与切线垂直的直线上;
圆心在某一条弦的中垂线上;
两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线。
10. 两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法
:x2 +y2 —2x =0和圆C2:x2 +y2 +4 y=0,试判断圆和位置关系,
若相交,则设其交点为A、B,试求出它们的公共弦AB的方程及公共弦长。
一、求圆的方程
例1 (06重庆卷文) 以点为圆心且与直线相切的圆的方程为( )
(A) (B)
(C) (D)
二、位置关系问题
例2 (06安徽卷文) 直线与圆没有公共点,