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因式分解在几何问题中的应用分析
摘要:因式分解是初中数学中的一个重要的变形公式,与分式、整式有密切关系,在解方程及分式运算过程中常常会用到因式分解。因式分解是初中数学中的一种重要解题思想。几何问题是初中数学中的重点和难点,在解题过程中常涉及解方程式和分式运算,因此,将因式分解巧妙地应用到几何问题中,对几何的学****和解题具有重要意义。
关键词:因式分解;几何;应用
因式分解是初中数学中重要的恒等变形,在解各类题型时较常运用。几何是初中数学教学中的一个重点和难点问题,找出因式分解与几何问题之间的关系,并巧妙地将因式分解运用到几何问题中,可以实现将几何题化繁为简和化难为易,培养学生的几何解题能力和知识运用能力。下面,就列举实例分析如何巧妙地将因式分解运用到几何问题中。
一、运用因式分解法判断图形形状
在初中数学几何问题中,常会涉及判断几何图形的形状问题,一般可以通过求解特殊角度和求边长等方式进行判断,解题过程往往比较复杂,采用因式分解法则可有效地实现化难为易的目的。
例1:已知△ABC的三边分别为a,b,c,且三条边满足公式:■+■=■,判断该三角形的形状。
解析:在运用代数思想判断三角形的形状时,通常需要对三角形三边大小进行比较。本题中的代数关系式是一个分式等式,这就需要运用分式的相关知识进行分析和判断,即分母不等于0,通过对分式进行去分母,然后通过因式分解法分解因式。
对■+■=■的左边进行通分,则有:
■=■
由于b+c≠0,则将上式两边同时去除(b+c)得出:
■=■,去分母得:a(b+c-a)=bc,即ab+ac-a2-bc=0
因式分解得:(a-c)(b-a)=0
则有a-c=0或者b-a=0,由此可得a=b或者a=c。
由此可以判断该三角形为等腰三角形。
二、利用因式分解求解图形边长或周长
在初中几何图形题中,常会遇到求解图形边长的题目,学生在求解这类题目时往往不知如何下手,通常可以采用代数的思想来进行求解。
例2:已知a、b为等腰△ABC的两条边,且满足代数式:a2+b2-4a-6b+13=0,试求该三角形的周长。
解析:由于a、b为等腰△ABC的两条边,则可能a为腰或者b为腰,则该三角形的周长可以表示为2a+b或者a+2b。将原代数式变形配方可得(a-2)2+(b-3)2=0,根据非负数性质可以求出a、b的值,从而求出三角形的周长。
由于a2+b2-4a-6b+13=0,对其进行变形和配方有:
(a2-4a+4)+(b2-6b+9)=0,即(a-2)2+(b-3)2=0,
根据非负数性质可知:a-2=0,且b-3=0
则求出:a=2,b=3。
当a为腰时,三角形的三边长分别为2,2,3,则周长为7;
当b为腰时,三角形的三边长分别为3,3,2,则周长为8。
三、利用因式分解求解关于三边关系问题
三角形的三边关系也是初中常见的试题类型之一。这类型的题通常是采用代数的思想求解,求解过程通常会用到因式分解,
在解题过程中涉及因式分解、不等式,需要学生能够灵活运用知识。
例3:已知△ABC的三条边为a、b、c,求证三边满足不等关系式:
a2-b2-c2-2bc<0。
解析:在求解此类题目时,通常采用逆推法对不等