2005年大连理工大攻读硕士研究生入学考试高等代数试题及参考解答.doc

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1. 设是有理数域上的不可约多项式,为在复数域内的一个根,
则的重数为 1
2. 阶行列式
.
3. 设、均为维列向量:,则可逆,.
4. 设向量组线性无关,
则线性相关.
5. 设是阶矩阵,秩,非齐次线性方程组有解,则的解向量组的秩为.
6. 设、均为实数,二次型
、满足条件时,为正定二次型.
7. 设是由矩阵的全体实系数多项式组成的线性空间,其中
, 其中,
则的一组基是.
8. 设是数域上的一维线性空间,写出上的所有线性变换: 取定的一个非零向量,则的全部线性变换形如,其中是中任一取定的数.
9. 正交矩阵的实特征值为.
10. 设为群,、分别是的子群, 、的阶分别是、,且、互素,令,则元素的阶为.
二、(10分) 设是数域上的多项式,证明:在数域上,若,则.
参考解答:若中有一个是零多项式或零次多项式,,,且
是的标准分解式,其中是互不相同的最高次项系数为1的不可约多项式,,由于
,,
利用多项式整除的传递性,,故,进一步可知,
, 对某个及.
于是我们可以设
,
,存在多项式,使得,即
.
由此推出,即,.因此
由多项式整除的定义知,.
(15分) 设为级矩阵,且秩秩,证明:对任意自然数,有秩=秩.
参考解答:,
,

dim=rankrankdim
于是=.
任取,即,亦即,,这表明,, .于是
rankdim=dimdim rank.
(15分) 证明:一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是,它的秩等于2和符号差等于0,或者秩等于1.
参考解答:充分性. 若的秩为1, 则可经非退化线性替换使, 其中,故
.
若的秩为2, 符号差为0, 则可经非退化线性替换使
,
其中均为的一次多项式, 即
故可表为两个两个实系数一次齐次多项式的乘积.
必要性.
设实二次型可以分解成两个实系数一次齐次多项式的乘积
若两个一次多项式的系数成比例,即,不妨设,令
则,即二次型的秩为1.
若两个一次多项式系数不成比例,不妨设,令

则,故二次型的秩为2,符号差为零.
(15分) 设是数域上的维线性空间的一组基,是的非平凡子空间, 是的一组基,证明:在中可以找到个向量,使为的一组基.
参考解答:因为是的非平凡子空间,, ,,,那么

,
,在中可以找到个向量
使
是的一组基.
(10分)设3阶矩阵满足,写出的若当(Jordan)标准型的所有可能形式.
参考解答: 因为,,,,
,,,.
(10分)设是一个维欧氏空间,是的一个标准正交基, A是的一个线性变换,是A关于这个基的矩阵,证明: (