极限函数与函数的连续性 可积性与可微性.doc

极限函数与函数的连续性可积性与可微性
主要讨论连极限函数与函数的连续性可积性与可微性。
设函数列在上一致收敛于,且对,
,则、均存在,且相等,即
。(即在一致收敛的条件下两种极限可换序)
(连续性) 若函数列在区间I上一致收敛于,且对,在I上连续,则在I上也连续。
说明:若各项为连续函数的函数列在区间I上其极限函数不连续,则此函数列
在区间I上不一致收敛。如:在上。
(可积性) 若函数列在上一致收敛,且每一项都连续,则
。
注1:该定理指出:在一致收敛的条件下,极限运算与积分运算可以交换顺序;
注2:一致收敛只是这两种运算换序的充分条件,而并非必要条件。如下面的:
例1、讨论下列函数的连续性与可积性函数
,。
解:(略)
(可微性) 设为定义在上的函数列,若为的收敛点,的每一项在上有连续的导数,且在上一致收敛,则
。
注1:在该定理的条件下可以证明在区间上一致收敛;
注2:该定理指出:在一致收敛的条件下,求导运算与极限运算可以交换顺序;
注3:一致收敛只是这两种运算换序的充分条件,而并非必要条件。如:
例2、设函数列
,。
下面讨论函数项级数的连续性,逐项求积与逐项求导的性质,它们都可由函数列的相应性质推出。
定理13-12(连续性)若函数项级数在区间上一致收敛,且每一项都连续,则其和函数也在区间上连续。
注:在一致收敛的条件下,求和运算与求极限运算可以交换顺序,即
。
定理13-13(逐项求积)若函数项级数在区间上一致收敛,且每一项都连续,则
。
注:即在一致收敛的条件下,求(无限项)和运算与积分运算可以交换顺序。
定理13-14(逐项求导)若函数项级数在区间上每一项都有连续导函数,为函数项级数的收敛点,且在区间上一致收敛,则
。
注:即在一致收敛的条件下,求(无限项)和运算与求导运算可以交换顺序。