求轨迹方程的常用方法(例题及变式).doc

求轨迹方程的常用方法:
题型一直接法
此法是求轨迹方程最基本的方法,根据所满足的几何条件,将几何条件直接翻译成的形式,然后进行等价变换,化简,要注意轨迹方程的纯粹性和完备性,即曲线上没有坐标不满足方程的点,也就是说曲线上所有的点适合这个条件而毫无例外(纯粹性);反之,适合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏(完备性)。
例1 过点任作互相垂直的两直线和,分别交轴于点,求线段中点的轨迹方程。
解:设点坐标为,由中点坐标公式及在轴上得,
,化简得
当时,,,此时的中点它也满足方程,所以中点的轨迹方程为。
变式1
已知动点到直线的距离是它到点的距离的2倍。
求动点的轨迹的方程;
过点的直线与轨迹交于两点。若是的中点,求直线的斜率。
题型二定义法
圆锥曲线定义所包含的几何意义十分重要,应特别重视利用圆锥曲线的定义解题,包括用定义法求轨迹方程。
例2 动圆过定点,且与圆相切,求动圆圆心的轨迹方程。
解:根据题意,说明点到定点的距离之差的绝对值为定值,故点的轨迹是双曲线。
,
故动圆圆心的轨迹方程为
变式2
在中,上的两条中线长度之和为39,求的重心的轨迹方程.
解:以线段所在直线为轴,线段的中垂线为轴建立直角坐标系,如图1,为重心,则有.
点的轨迹是以为焦点的椭圆,
其中..
所求的重心的轨迹方程为
题型三相关点法
此法的特点是动点的坐标取决于已知曲线上的点的坐标,可先用来表示,再代入曲线的方程,即得点的轨迹方程。
例3 如图,从双曲线上一点引直线的垂线,垂足为,求线段的中点的轨迹方程
分析:从题意看动点的相关点是,在双曲线上运动,所以本题适合用相关点法。
解:设动点的坐标为,点的坐标为,则点的坐标为
在直线上,
…①
又垂直于直线,
,即…②
由①②解得…③
又点在双曲线上,…④
③代入④,得动点的轨迹方程为
变式3已知△ABC的顶点,顶点在抛物线上运动,求的重心的轨迹方程.
解:设,,由重心公式,得又在抛物线上,. ③
将①,②代入③,得,
即所求曲线方程是.
题型四参数法
选取适当的参数,分别用参数表示动点坐标,得出轨迹的参数方程,消去参数,即得其普通方程,选参数时必须首先充分考虑到制约动点的各种因素,然后在选取合适的参数,因为参数不同,会导致运算量的不同,常见的参数有截距、角度、斜率、线段长度等。
例4已知线段,直线垂直平分于,在上取两点,使有向线段满足,求直线与的交点的轨迹方程.
解:如图2,以线段所在直线为轴,以线段的中垂线为轴建立直角坐标系.
设点,
则由题意,得.