实变函数证明题大全(期末复习).doc

证明:因为在上可测,由鲁津定理是,对任何正整数,存在的可测子集,使得, 同时存在定义在上的连续函数,使得当时,有所以对任意的,成立由此可得,因此即,由黎斯定理存在的子列,使得,于E
2、设上的连续函数,为上的可测函数,则是可测函数。
证明:记,由于在上连续,故对任意实数是直线上的开集,设,其中是其构成区间(可能是有限个,可能为可有为)因此因为在上可测,因此都可测。故可测。
3、设是上的实值连续函数,则对于任意常数,是一开集,而总是一闭集。
证明:若,因为是连续的,所以存在,使任意,
, 即任意是开集若且,由于连续,,
即,因此E是闭集。
4、(1)设求出集列的上限集和下限集
证明:设,则存在N,使,因此时,,即,所以属于下标比N大的一切偶指标集,从而属于无限多,得,
又显然若有,则存在N,使任意,有,因此若时,
,此不可能,所以
(2)可数点集的外测度为零。
证明:证明:设对任意,存在开区间,使,且所以,且,由的任意性得
5、设是E上的可测函数列,则其收敛点集与发散点集都是可测的。
证: 显然,的收敛点集可表示为
=.
由可测及都可测,所以在上可测。
从而,对任一自然数,可测。故

可测。既然收敛点集可测,那么发散点集也可测。
6、设,存在两侧两列可测集{}, {},使得且(-)→0,(n→∝)则可测.
证明:对于任意, ,所以
又因为,
所以对于任意,
令→∝,由→0 得所以是可测的又由于可测,有也是可测的所以是可测的。
7、设在上,而成立,,则有
设,则。
所以
因为,所以
即
8、证明:。
证明:因为,,所以,,,从而
反之,对任意,即对任意,有
为无限集,
从而为无限集或为无限集至少有一个成立,即或,所以,,。综上所述,。
9、证明:若,(),则于。
证明:由于,而
,
所以,
,
由,()得
,。
所以,,从而,即于。
10、、证明:若,(),则()。
证明:对任意,由于
,
所以,由可得,
和至少有一个成立。
从而
,
所以,
。
又由,()得,
,。
所以,
,即()。
11、若(),则()。
证明:因为,所以,对任意,有
,
。
又由()得,。所以,
,即()。
12、证明:上的连续函数必为可测函数。
证明:设是上的连续函数,由连续函数的局部保号性,对任意实数,是开集,从而是可测集。所以,是上的可测函数。
13、证明:上的单调函数必为可测函数。
证明:不妨设是上的单调递增函数,对任意实数,记,由单调函数的特点得,当时,,显然是可测集;当时,,也显然是可测集。故是上的可测函数。
14、设,是的可测子集,且,若,则。
证明:因为是的可测子集,且,所以,,从而由得,。又,由积分的绝对连续性,。
15、设,若对任意有界可测函数都有,则于。
证明:由题设,取,显然为上的有界可测函数,从而。所以,于,即于。
16、设,,证明(1);(2)。
证明:由得,(1)。(2)由(1),注意到,由积分的绝对连续性得,,从而注意到