实变函数证明题大全期末复习.doc

实变函数证明题大全(期末复****—————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: 1、设有限的可测函数,证明:存在定义在上的一列连续函数,使得于E。证明:因为在上可测,由鲁津定理是,对任何正整数,存在的可测子集,使得,同时存在定义在上的连续函数,使得当时,有所以对任意的,成立由此可得,因此即,由黎斯定理存在的子列,使得,于E2、设上的连续函数,为上的可测函数,则是可测函数。证明:记,由于在上连续,故对任意实数是直线上的开集,设,其中是其构成区间(可能是有限个,可能为可有为)因此因为在上可测,因此都可测。故可测。3、设是上的实值连续函数,则对于任意常数,是一开集,而总是一闭集。证明:若,因为是连续的,所以存在,使任意,,即任意是开集若且,由于连续,,即,因此E是闭集。4、(1)设求出集列的上限集和下限集证明:设,则存在N,使,因此时,,即,所以属于下标比N大的一切偶指标集,从而属于无限多,得,又显然若有,则存在N,使任意,有,因此若时,,此不可能,所以(2)可数点集的外测度为零。证明:证明:设对任意,存在开区间,使,且所以,且,由的任意性得5、设是E上的可测函数列,则其收敛点集与发散点集都是可测的。证:显然,的收敛点集可表示为=.由可测及都可测,所以在上可测。从而,对任一自然数,可测。故可测。既然收敛点集可测,那么发散点集也可测。6、设,存在两侧两列可测集{}, {},使得且(-)→0,(n→∝):对于任意,,所以又因为,所以对于任意, 令→∝,由→0得所以是可测的又由于可测,有也是可测的所以是可测的。7、设在上,而成立,,则有设,则。所以因为,所以即8、证明:。证明:因为,,所以,,,从而反之,对任意,即对任意,有为无限集,从而为无限集或为无限集至少有一个成立,即或,所以,,。综上所述,。9、证明:若,(),则于。证明:由于,而,所以,,由,()得,。所以,,从而,即于。10、、证明:若,(),则()。证明:对任意,由于,所以,由可得,和至少有一个成立。从而,所以,。又由,()得,,。所以,,即()。11、若(),则()。证明:因为,所以,对任意,有,。又由()得,。所以,,即()。12、证明:上的连续函数必为可测函数。证明:设是上的连续函数,由连续函数的局部保号性,对任意实数,是开集,从而是可测集。所以,是上的可测函数。13、证明:上的单调函数必为可测函数。证明:不妨设是上的单调递增函数,对任意实数,记,由单调函数的特点得,当时,,显然是可测集;当时,,也显然是可测集。故是上的可测函数。14、设,是的可测子集,且,若,则。证明:因为是的可测子集,且,所以,,从而由得,。又,由积分的绝对连续性,。15、设,若对任意有界可测函数都有,则于。证明:由题设,取,显然为上的有界可测函数,从而。所以,于,即于。16、设,,证明(1)