2008年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准.doc

2008全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准(A卷)
说明:
,,填空题只设9分和0分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次.
,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中5分为一个档次,不要增加其他中间档次.
一、选择题(本题满分36分,每小题6分)
( C )

[解] 当时,,因此
,,因此在上的最小值为2.
,,若,则实数的取值范围为( D )
A. B. C. D.
[解] 因有两个实根
,,
故等价于且,即
且,
解之得.
,约定每局胜者得1分,负者得0分,,乙在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数的期望为( B )
A. B. C. D.
[解法一] 依题意知,的所有可能值为2,4,6.
设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为
.
若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,
,
,
,
故.
[解法二] 依题意知,的所有可能值为2,4,6.
令表示甲在第局比赛中获胜,则表示乙在第局比赛中获胜.
由独立性与互不相容性得
,
,
,
故.
(单位:cm)的正方体的表面积之和为564 cm2,则这三个正方体的体积之和为( A )
A. 764 cm3或586 cm3 B. 764 cm3
C. 586 cm3或564 cm3 D. 586 cm3
[解] 设这三个正方体的棱长分别为,则有,,不妨设,从而,.,8,7,6.
若,则,易知,,得一组解.
若,则,.但,,,则无解,若,.
若,则,有唯一解,.
若,则,此时,.故,但,故,此时无解.
综上,共有两组解或
体积为cm3或cm3.
( B )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
[解] 若,则解得或
若,则由得. ①
由得. ②
将②代入得. ③
由①得,代入③化简得.
易知无有理数根,故,由①得,由②得,与矛盾,故该方程组共有两组有理数解或
,则的取值范围是
( C )
A. B.
C. D.
[解] 设的公比为,则,而
.
因此,只需求的取值范围.
因成等比数列,最大边只能是或,因此要构成三角形的三边,
即
解得
从而,因此所求的取值范围是.
二、填空题(本题满分54分,每小题9分)
,其中为实数,,,,若,则 5 .
[解] 由题意知
,
由得,,因此,,.
,则.
[解]
,
(1) 时,当时取最小值;
(2) 时,当时取最小值1;
(3) 时,当时取最小值.
又或时,的最小值不能为,
故,解得,(舍去).
,则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 222 种.
[解法一] 用4条棍子间的空隙代表3个学校,

表示第一、二、三个学校分别有4,18,2个名额.
若把每个“”与每个“”都视为一个位置,由于左右两端必须是“|”,故不同的分配方法相当于个位置(两端不在内)被2个“|”占领的一种“占位法”.
“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“|”,故有种.
又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种.
综上知,满足条件的分配方法共有253-31=222种.
[解法二] 设分配给3个学校的名额数分别为,则每校至少有一个名额的分法数为不定方程
.
的正整数解的个数,即方程的非负整数解的个数,它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合:
.
又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种.
综上知,满足条件的分配方法共有253-31=222种.
:,,则通项=.
[解] ,
即 2
=,
由此得 2.
令, (),
有,故,所以.
,若,且对任意,满足
,,则=.
[解法一] 由题设条件