高等数学公式定理整理.docx

高等数学公式定理整理

本定理,公式整理仅用于参考,具体学****请多做题目以增进对知识的掌握。
蓝色为定理红色为公式
三角函数恒等公式:
两角和差
和差化积
积化和差
倍角公式(部分):很重要!
函数
函数的特性:
有界性:
假设函数在D上有定义,如果存在正数M,使得对于任何的x∈D都满足|f(x)|≤M。则称f(x)是D的有界函数。
如果正数M不存在,则称这个函数是D上的无界函数。
单调性
设f(x)的定义域为D,区间ID。X1,x2∈I,那么,如果x1<x2,那么就是单调增加函数;如果x1>x2,那么就是单调减少函数。
奇偶性
如果f(-x)=f(x),那就成为偶函数,如果f(-x)=-f(x),那就是奇函数。
周期性
设函数的定义域为D,若存在不为零的数T,使得任一x∈D有(x±T)∈D,且f(x±T)=f(x)总是成立,就称该函数为周期函数,如sin x,cos x,它们就是以2π为周期的周期函数。
反函数:
就是用自变量X来表示原函数Y,如下列式子:
原函数f(x)=x+5,它的反函数为x=f(x)-5,也就是f(x)=x-5;
复合函数和初等函数:
重要!:六个基本初等函数是:幂函数(xa),指数函数(ax),对数函数(logax,lg x【log10x】,ln x【logex】),三角函数(sinx,cosx,tanx,ctnx,secx,cscx),反三角函数(常见反三角函数为arcsinx,osx,arctanx)
复合函数就是初等函数,初等函数是基本初等函数经过有限次的运算后得到的,分段函数不是初等函数。
极限与连续
极限就是一个数无限趋近于一个值,函数极限就是函数无限趋近于一个值,用limx→x0 f(x)=A
如何得知一个函数有极限?算出左极限和右极限。并且左右极限相等。
极限运算法则
limx→x0 [f(x)±g(x)]=limx→x0 f(x)±limx→x0 g(x)=A±B
limx→x0 [cf(x)]=climx→x0 f(x)=cA
limx→x0 f(x)·limx→x0 g(x)=limx→x0 f(x)·g(x)=A·B
=(B≠0)
重要!:两个重要极限
夹逼准则
如果xn,yn,zn 满足xn≤yn≤zn
那么这就是夹逼准则。
图 1
如图1,∠AOC=x(0<x<2/π),由于|BD|=x,弧BC=x,|CA|=tan x且△OBC面积<扇形OBC面积<△AOC面积,于是有:
化简
两边同时除以sinx
根据夹逼准则得出
所以
(这是标准公式,题目有类似的把它转换成标准公式即可)
无穷大量和无穷小量
性质1,无穷小量和有界函数的积仍为无穷小量
性质2,两个无穷小量之积仍为无穷小量
性质3,两个无穷小量的代数和仍为无穷小量
定理1,在自变量变化过程中,函数有极限的充分必要条件是函数可写成常数和无穷小量的和。
定理2,b与a是等价无穷小的充分必要条件为b=a+o(a)
定理3,设a~a’,b~b’,且limb’/a’存在,则lima/b=lima’/b’。
无穷小量的比较:

其中等价无穷小可运用到极限运算中(加减关系不能用,乘除关系可以用,且x趋于0)
等价公式:当x→0时,sinx~x ,tanx~x,
arcsinx~x ,
arctanx~x ,
1-cosx~(1/2)*(x^2)~secx-1,
(a^x)-1~x*lna ((a^x-1)/x~lna), (e^x)-1~x ,ln(1+x)~x ,(1+Bx)
a-1~aBx,[(1+x)1/n]-1~(1/n)*x,loga(1+x)~x/lna ,(1+x)a-1~ax(a≠0),
连续
定义设函数f(x)在x0的某个去心邻域内有定义,若lim(△x→0)△y=0,则称函数f(x)在x0这个点连续。
条件:(1)f(x0)有定义,有数值;(2)lim(x→x0)有极限,(3)且左右极限相等;才连续。
左右连续和左右极限相同,如图:
就是说只有左右连续相等,且有定义,那么才连续。
间断点
根据函数连续的定义,可以分成四个间断点。
可去间断点:左右极限存在且相等,但是却没有定义。
跳跃间断点:左右极限存在却不相等,在该点有(无)定义。
震荡间断点:极限不存在,函数值在几个数之间摇摆。
无穷间断点:在区间内极限区域无穷大。
闭区间连续函数的性质:
[a,b]区间里连续函数,必定存在最小值和最大值;
函数f(x)在[a,b]区间连续,则在[a,b]必定有界;
若函数f(x)在[a,b]连续,且f(a)=A,f(b)=B,又A≠B,C是介于A,B的一个值,则