应用高斯公式计算下列曲面积分.doc

应用高斯公式计算下列曲面积分:
(1),其中S是单位球面的外侧;
(2),其中S是立方体表面的外侧;
(3),其中S是锥面与平面z=h所围空间区域的表面,方向取外侧;
(4),其中S是单位球面的外侧;
(5),其中S是单位球面的外侧。
分析:记住高斯公式
,
其中S 取外侧.
解: (1)因为,,,
所以
(2)

(3),由柱面坐标变换
知原式
(4)

(5):增补平面
使之成为一封闭体,并取下侧为
正侧,
原式

,
其中V由与所确定的空间区域。
分析:空间区域V如图:
解: 原式
:
(1),其中L为与三坐标面的交线,它的走向使所围平面区域上侧在曲线的左侧;
(2),其中L为所交的椭圆的正向.
(3) ,其中L为以为顶点的三角形沿ABCA的方向.
分析:斯托克斯公式给出了双侧曲面积分与曲面边界的曲线积分的关系,即
其中S 的侧与 L 的方向按右手定则
解(1)记L为曲面S:的边界,如图
由斯托克斯公式知
原式
且

同理
故原积分=0
(2)视L为该椭圆的边界,则
原式=
由于曲面上任一点处的发向量
中的,
从而由定义知,因此,原式=0.
(3)
:
(1);
(2)
分析:(1)因为,
而,,,
所以在内是某一函数的全微分
解: (1) 因,故原函数为:

(2)分析:因为,
而,,,
所以在内是某一函数的全微分。
解法1:任取,则
,
其中为任意常数.
解法2:
由于
故原函数为
,并计算其值;
(1);
(2),其中在球面上.
分析:要验证线积分与路线无关,只需要验证被积表达式是某二元函数的全微分,即
或验证
解: (1)因在内有
,
所以所给曲线积分与路线无关,从而
原积分
(2)因在内有
所以,所给曲线积分与路线无关,且
:由曲面S所包