2006年全国高中数学联合竞赛（天津初赛）（含答案）.doc

二OO六年全国高中数学联合竞赛(天津初赛)
(9月17日上午9:00~11:00)
一、选择题(本题共5个小题,每小题6分满分30分)
(1)已知函数,当时,恒成立,则的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
(2)已知,,若,则与的大小关系是( )
(A) (B) (C) (D)不确定
(3)已知一条直线与双曲线()的两支分别相交于、两点,为原点,当时,双曲线的中心到直线的距离等于( )
(A) (B) (C) (D)
(4)已知为四面体的侧面内的一个动点,且点与顶点的距离等于点到底面的距离,那么在侧面内,动点的轨迹是某曲线的一部分,则该曲线一定是( )
(A)圆或椭圆(B)椭圆或双曲线(C)双曲线或抛物线(D)抛物线或椭圆
(5)已知集合是集合的子集,且对任意,都有,则集合中的元素最多有( )
(A)67个(B)68个(C)69个(D)70个
二、填空题(本题共6个小题,每小题5分,满分30分)
(6)已知椭圆(),长轴的两个端点为、,若椭圆上存在点,使,则该椭圆的离心率的取值范围是.
(7)在中,,,分别表示它的斜边长,内切圆半径和面积,则的取值范围是.
(8)已知集合,且,则集合、、所有可能的情况有种.
(9)已知,,是平面上三个不同的点,且满足关系式,则实数的取值范围是.
(10)在一个棱长为5的正方体封闭的盒内,有一个半径等于1的小球,若小球在盒内任意地运动,则小球达不到的空间的体积的大小等于.
(11)已知都是偶数,且,,若成等差数列,成等比数列,则的值等于.
三、解答题(本题共3小题,每小题20分,满分60分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程)
(12)已知数列满足,,,其中是给定的实数,是正整数,试求的值,使得的值最小.
(13)已知、是关于的二次方程的两个根,且,若函数.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)对任意的正数、,求证:.
(14)将,,…,这个数未填入如图所示的正方形中的小方格内,每个小方格内填一个数,使每一行,每一列的各数之和各不相等且均能被正整数()整除.
(Ⅰ)求的所有可能的值;
(Ⅱ)给出一种符合题意的具体填法(此填法适用于的所有可能值).
二00四年全国高中数学联合竞赛(天津初赛)
试题参考答案及评分标准
一、选择题(本题共5个小题,每小题6分满分30分)
(1)D (2)A (3)A (4)D (5)A
二、填空题(本题共6个小题,每小题5分,满分30分)
(6) (7) (8)500 (9) (10) (11)194
三、解答题(本题共3小题,每小题20分,满分60分)
(12)【解】令,
由题设,有,且…………5分
于