线性代数第四章习题答案.doc

选择题:
C;2、A;3、D;4、B;5、C;6、D。
填空题:
1、(题目有误)题目改为有解的充分必要条件是: ;
2、-3;3、1;4、;1;1;5、;6、。
三、计算题
1、求解齐次线性方程组:
解:系数矩阵,所以方程组的同解方程组为,取,得到方程组的一个基础解系:
,,
故方程组的通解为:,。
2、求解非齐次线性方程组:
解:增广矩阵
所以方程组的同解方程组为:,取,得到方程组的一个特解
而方程组的导出组的同解方程组为:,取,得到导出组的基础解系为:
所以方程组的通解为:,。
四、证明题
:
的解全是方程的解,证明:向量可以被向量组线性表出。
证明: 令,,
因为齐次线性方程组:
的解全是方程的解,
所以齐次方程组与同解,故而,也即,
从而非齐次线性方程组有解,也即向量可以被向量组线性表出。
P106****题四
求下列线性方程组的基础解系和通解:
(1)
解:系数矩阵,所以方程组的同解方程组为,取,得到方程组的一个基础解系为:
所以方程组的通解为:,。
(3)
解:系数矩阵,所以方程组的同解方程组为:
,取,得到方程组的一个基础解系为:
所以方程组的通解为:,。
(5)
解:增广矩阵,
故而有,所以方程组无解。
(7)
解:增广矩阵
所以方程组的同解方程组为:,取,得到方程组的一个特解为:
方程组对应的齐次线性方程组为:,取,得到方程组的一个基础解系为:
所以方程组的通解为:,。
(9)
解:增广矩阵,方程组的同解方程组为: ,取取,得到方程组的一个特解为:
方程组对应的齐次线性方程组为:,取,得到方程组的一个基础解系为:
所以方程组的通解为:,。
,,证明:的任何一个非零列都构成齐次线性方程组的基础解系。
证明: 由知, 又知,综合以上有,故的基础解系含有一个线性无关的解向量,也即方程组的任意一个非零解均构成方程组的基础解系。
又,知,也即的列向量组是齐次线性方程组的解。由上面的分析知的任何一个非零列都构成齐次线性方程组的基础解系。
:
当取何值时(1)方程组有唯一解;(2)方程组无解;(3)方程组有无穷多解;且在有解时求解。
解:方程组的系数行列式为
当时,也即且时,方程组有唯一解,利用克莱姆法则求解得:
当时,方程组的增广矩阵
此时,,所以方程组无解。
当时,方程组的增广矩阵,
此时,,方程组有无穷多解,方程组的同解方程组为:
,取,得到方程组的一个特解;
方程组对应的齐次线性方程组为:,取,得到方程组的基础解系为:,,
所以方程组的通解为:,。
,求矩阵,使且。
解:对矩阵施行初等行变换,则,故而齐次方程组的同解方程组为:,取,得到方程组的基础解系为:,,令,则矩阵满足且
,即即为所求矩阵。
,为实数,满足。证明:也是它的解。
证明:因为是非齐次线性方程组的解,所以,
而