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§ 连续型随机变量及其概率密度函数
一、连续型随机变量的概念
设随机变量X的分布函数为,若存在非负可
积函数,使得对于任意实数,都有
(2—15)
则称X为连续型随机变量, 称为X的概率密度函数
(Probability Density Function),简称概率密度或密度.
由定义可知,连续型随机变量X的分布函数在x点的函
数值等于其概率密度函数在区间上的积分.
类似于离散型随机变量,连续型随机变量的概率密度
函数具有如下基本性质:
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(1)(非负性) 对任意的实数, ≥0;
(2)(规范性) (2—16)
反过来,若已知一个函数满足上述性质(1)和(2),则
一定是某连续型随机变量X的概率密度函数.
另外,对连续型随机变量X的分布,还具有如下性质:
( ), = = ;
,但反之不真;
;即对于任意
实数, = 0;
事实上,由(2-12)和的连续性即知:

因为连续型随机变量取任一确定值是可能的,所以,
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(1)概率为零的事件未必是不可能事件;概率为1的事件
也不一定是必然事件;
(2)在计算连续型随机变量X落在某一区间的概率时,可
不必区分是开区间、闭区间还是半开半闭区间, 即对任意的
实数,有
= =
= = (2—17)
这样,如果除可数个点外导数处处连续,那么在的
导数连续点处,而在其它点处f(x)的值可任意补充
定义,不妨取为0,于是可得到X的一个概率密度函数

(2-18)
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二、常见的几种连续型分布

若X的概率密度函数为

(2—19)
则称X服从区间(a, b)内的均匀分布(Uniform Distribution),记
为~U(a, b).
均匀分布的特征:
(1) 若X~U(a, b), 则落在(a, b)内任意子区间内的概
率只依赖于子区间的长度,而与子区间的位置无关.
事实上,对于任意一个长度的子区间,
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(2)若X~ ,则X的分布函数为



(2-20)
(3) 和的图形分别为


甘柒杏学健讥铀朝金棠川丘全茬擒芜雏海肘至闰芋毕伍金阜杖铆忆炽茅勉连续型随机变量及其概率密度函数连续型随机变量及其概率密度函数
2. 指数分布
若X的概率密度函数为

( >0) (2—21)
则称X服从参数为的指数分布(Exponential Distribution),记
为,其分布函数为


(2-22)
指数分布的概率密度函数和分布函数的图形分别为

团潭宇篙连需泊卧烫唇嚷钵宗禁浦挖双篮悉遇谗琼堪椰氢魁迷的捷垢酶搀连续型随机变量及其概率密度函数连续型随机变量及其概率密度函数
生活中,、电
话的通话时间、排队时所需的等待时间都可用指数分布描述.
因此,指数分布在生存分析、可靠性理论和排队论中有广泛的
应用.

(1)正态分布的概念
若X的概率密度函数为

(2-23)
其中和为常数且,则称X服从参数为的正态分布
(Normal Distribution),记为,正态分布也叫高
斯分布(Gauss), 其分布函数为
馆主乏杠夷胃封歇净厘烈锑卢斗群已坎汕棚坪芍局煞瞻札境绥讳约篓欲辟连续型随机变量及其概率密度函数连续型随机变量及其概率密度函数
(2-24)
特别地, 当时,则称正态分布为标准正态分布,
它的概率密度函数特记为,即


(2—25)
它的分布函数特记为,即

(2—26 )

所示:
砍雏衔梧拼光戏孙洗矿堕喘驻债休理砚帘出僵珍兰忌泉制禄页藤锄足期吟连续型随机变量及其概率密度函数连续型随机变量及其概率密度函数
由于是概率密度函数,因此. 从而,
有