弦振动实验报告.doc

弦振动的研究
一、实验目的
1、观察固定均匀弦振动共振干涉形成驻波时的波形,加深驻波的认识。
2、了解固定弦振动固有频率与弦线的线密ρ、弦长L和弦的张力Τ的关系,并进行测量。
二、实验仪器
弦线,电子天平,滑轮及支架,砝码,电振音叉,米尺
三、实验原理
为了研究问题的方便,认为波动是从A点发出的,沿弦线朝B端方向传播,称为入射波,再由B端反射沿弦线朝A端传播,称为反射波。入射波与反射波在同一条弦线上沿相反方向传播时将相互干涉,。这时,弦线上的波被分成几段形成波节和波腹。驻波形成如图(2)所示。
图(2)
设图中的两列波是沿X轴相向方向传播的振幅相等、频率相同振动方向一致的简谐波。向右传播的用细实线表示,向左传播的用细虚线表示,它们的合成驻波用粗实线表示。由图可见,两个波腹间的距离都是等于半个波长,这可从波动方程推导出来。
下面用简谐波表达式对驻波进行定量描述。设沿X轴正方向传播的波为入射波,沿X轴负方向传播的波为反射波,取它们振动位相始终相同的点作坐标原点“O”,且在X=0处,振动质点向上达最大位移时开始计时,则它们的波动方程分别为:
Y1=Acos2p(ft-x/ l)
Y2=Acos[2p (ft+x/λ)+ p]
式中A为简谐波的振幅,f为频率,l为波长,X为弦线上质点的坐标位置。两波叠加后的合成波为驻波,其方程为:
Y1 +Y2=2Acos[2p(x/ l)+p/2]Acos2pft ①
由此可见,入射波与反射波合成后,弦上各点都在以同一频率作简谐振动,它们的振幅为|2A cos[2p(x/ l)+p/2] |,与时间无关t,只与质点的位置x有关。
由于波节处振幅为零,即:|cos[2p(x/ l)+p/2] |=0
2p(x/ l)+p/2=(2k+1) p / 2 ( k=0. 2. 3. …)
可得波节的位置为:
x=kl /2 ②
而相邻两波节之间的距离为:
xk+1-xk =(k+1)l/2-kl / 2=l / 2 ③
又因为波腹处的质点振幅为最大,即|cos[2p(x/ l)+p/2] | =1
2p(x/ l)+p/2 =kp ( k=0. 1. 2. 3. L L)
可得波腹的位置为:
x=(2k-1)l/4 ④
这样相邻的波腹间的距离也是半个波长。因此,在驻波实验中,只要测得相邻两波节或相邻两波腹间的距离,就能确定该波的波长。
在本实验中,由于固定弦的两端是由劈尖支撑的,故两端点称为波节,所以,只有当弦线的两个固定端之间的距离(弦长)等于半波长的整数倍时,才能形成驻波,这就是均匀弦振动产生驻波的条件,其数学表达式为:
L=nl / 2 ( n=1. 2. 3. …)
由此可得沿弦线传播的横波波长为:
l=2L / n ⑤
式中n为弦线上驻波的段数,即半波数。
根据波速、频率及波长的普遍关系式:V=lf,将⑤式代入可得弦线上横波的传播速度:
V=2Lf/n ⑥
另一方面,根据波动理论,弦线上横波的传播速度为:
V=(T/ρ)1/2 ⑦
式中T为弦线中的张力,ρ为弦线单位长度的质量,即线密度。
再由⑥⑦式可得
f =(T/ρ)1/2(n/2L)
得 T=ρ/ (n/2Lf )2
即ρ=T