4.5 等价关系与偏序关系.doc

授课章节
等价关系与偏序关系
任课教师
及职称
唐新华
讲师
教学方法
与手段
板书和电子课件结合
课时安排
2课时
使用教材和
主要参考书
1、教材:
耿素云等,离散数学,清华大学出版社,2008

左孝琳、李为槛、刘永才,离散数学(上海科技文献版)2006
教学与目的要求:
掌握序偶与笛卡尔积的基本概念,并能够计算集合的笛卡尔积;掌握关系、二元关系、空关系、全域关系、相等关系、逆关系、复合关系的的概念,关系的表述方法,掌握关系、二元关系、空关系、全域关系、相等关系、逆关系、复合关系的的性质,能够判定关系的性质(等价关系或偏序关系)
教学重点、难点:
重点:等价关系、等价类、商集、划分的概念,以及等价关系与划分的对应性质⑧偏序关系、偏序集、哈斯图、偏序集中的特定元素等概念④集合A上关系R的自反闭包、对称闭包和传递闭包⑤关系运算的集合恒等式或者包含式
难点:关系的闭包运算;等价关系、等价类;偏序关系、偏序集、哈斯图
教学内容:
等价关系与偏序关系
一、本节主要内容
等价关系商集偏序关系
二、教学内容
等价关系的定义与实例
定义设 R 为非空集合上的关系. 如果 R 是自反的、对称的和传递的, 则称 R 为 A 上的等价关系.
设 R 是一个等价关系, 若<x,y>∈R, 称 x 等价于y, 记做 x~y. 
实例设 A={1,2,…,8}, 如下定义A上的关系 R:
 R = { <x,y> | x,y∈A∧x≡y(mod 3) }
其中 x≡y(mod 3) 叫做 x 与 y 模3相等, 即 x 除以3的余数与 y 除以3的余数相等.
等价类及其性质
定义设 R 为非空集合上的关系. 如果 R 是自反的、对称的和传递的, 则称 R 为 A 上的等价关系.
设 R 是一个等价关系, 若<x,y>∈R, 称 x 等价于y, 记做 x~y. 
实例设 A={1,2,…,8}, 如下定义A上的关系 R:
 R = { <x,y> | x,y∈A∧x≡y(mod 3) }
其中 x≡y(mod 3) 叫做 x 与 y 模3相等, 即 x 除以3的余数与 y 除以3的余数相等.
A上模3等价关系的关系图
设 A={1,2,…,8},
R={ <x,y>| x,y∈A∧x≡y(mod 3) }
定义设R为非空集合A上的等价关系, "x∈A,令
[x]R = { y | y∈A∧xRy }
称[x]R 为 x 关于R 的等价类, 简称为 x 的等价类, 简
记为[x].
实例 A={ 1, 2, …, 8 }上模 3 等价关系的等价类:
[1]=[4]=[7]={1,4,7}
[2]=[5]=[8]={2,5,8}
[3]=[6]={3,6}
定理1 设R是非空集合A上的等价关系, 则
(1) "x∈A, [x] 是A的非空子集.
(2) "x, y∈A, 如果 x R y, 则[x]=[y].
(3) "x, y∈A, 如果 x y, 则[x]与[y]不交.
(4) ∪{ [x] | x∈A}=A,即所有等价类的并集就是A.
实例A={ 1, 2, …, 8 }上模 3 等价关系的