复变函数第二章(第三讲) PPT课件.ppt

第二章解析函数
§2-1 解析函数的概念
§2-2 函数解析的充要条件
§2-3 初等函数
1. 复变函数的导数定义
2. 解析函数的概念
§ 解析函数的概念

§ 复变函数的导数与微分
如果w=f (z)在区域D内处处可导,则称f (z)在区域
D内可导。
设函数f (z)在z0的某邻域N( z0 ,δ)内有定
义, 且极限存在,则称函数
f (z)在点z0处可导。称此极限值为f (z)在z0的导数
记作
(1) Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零。
(2) z=x +i y , Δz=Δx+iΔy, Δf=f(z+Δz)-f(z)。
例1
求导公式
(1) 常数的导数 c= (a+ i b)=0.
(2) (z n)=nzn-1 (n是自然数).
证明对于复平面上任意一点z0,有
----实函数中求导公式的推广
求导法则
设函数f (z),g (z) 均可导,则
(1) [f (z)±g (z)]=f(z)±g(z),
(2) [f (z)g(z)]= f(z)g(z) + f (z)g(z)
----实函数中求导法则的推广
(4) 复合函数的导数( f [g (z)])=f(w)g(z),
其中w=g(z)。
(5) 反函数的导数,其中: w=f (z)
与z=(w)互为单值的反函数,且(w)0。
思考题
例3 问:函数f (z)=x+2yi是否可导?
例2
解
解
例4 证明 f (z)=zRez只在z=0处才可导。
证明
(1) 复变函数在一点处可导,要比实函数
在一点处可导要求高得多,也复杂得
多,这是因为Δz→0是在平面区域上
以任意方式趋于零的原故。
(2) 在高等数学中要举出一个处处连续,
但处处不可导的例题是很困难的,
但在复变函数中,却轻而易举。