两种群相互作用系统正解的存在性.doc

查淑玲1,李艳玲2
(,陕西西安 714000; ,陕西西安 710062)
摘要:利用极值原理及上下解方法,对两种群的含扩散项且具有指数衰减的反应扩散方程组以及与年龄有关的两种群相互作用系统进行了研究,证明了其正解的存在性。
关键词:最大值原理;上下解;拟增或拟减
中图分类号: 文献标识码:A 文章编号:1000-274X(2004)0106-5
对于单种群生物动力学系统中的反应扩散方程组,文献[1~5]已做了大量的研究工作。同时,对含扩散项的生物模型的研究也逐渐得到重视,对两种群含扩散项的反应扩散方程组,文献[6]也给出了其正解的存在性,但对两种群的含扩散项且具有指数衰减的反应扩散方程组的研究,除文献[7]外为数不多。所以,本文利用极值原理及上下解方法,研究与年龄有关的两种群生物相互作用的系统正解的存在性。下面是两种群相互竟争的生物模型
式(1)中,设Ω是R n(n≥1)中的有界区域,且边界充分光滑,n为的外法向,为第i种群在t时刻的种群数量,均为正常数,为第i种群的死亡函数,反应了两种群间的相互作用,,但在上, 具有环境因子的意义,为生育参数。下面对式(1)进行讨论。
为了叙述方便,对系统(2)由文献[8]有引理
引理1 假设分别是系统(2)的上下解,且,是拟增或拟减,则式(2)存在惟一解满足。
其中
设是特征值问题:的最小特征值,为对应的特征函数,由此可知,具有正的最小值,设φ(x)为归范化的,则在上具有的最大值为。不妨将式(1)中右端的项记为
定理1 当时,式(1)存在惟一的一组解,满足,
,,其中,是满足以下条件的常数
。
证明设为待定的正函数,由于是拟减的,由上下解的定义它们必须满足
将代入有
,有
取满足即可,解此常微分方程有
同理,可证得,再由初边值条件得。由上述过程可知
是式(1)的上下解,由引理知定理得证。
定理2 当,且时,式(1)存在惟一解(u1, u2), 满足,其中,p2(t)与定理1中的相同,但。
证明设为待定正常数,p2(t)待定正函数,由上下解的定义,它们需满足式(3),可解得同样依定理1取,又当时,p2(t)是单调减函数,时式(3)成立。
再根据初始条件,只要时,则,是式(1)的上下解,由引理1知定理得证。
定理 3 当且,则存在正数A和B,使得当
时,式(1)存在惟一解,满足,其中,,且。
证明设,这里假定为减函数,为增函数,由上下解的定义它们必须满足
上式只要取
记 A=, B=,
C=, D=
由上解得
显然为减函数,而当时为增函数,符合假设,又由于B>0, C>0, ,这就要求
(4)
只要,,一定可选取,使得
成立,选定后,也一定可选取使式(4)成立。
再根据初值必须要求。最后,当时, 总成立, 所以
故,由引理知结论成立。
定理 4 若且,则式(1)存在惟一解,满足
证明只要取,为常数,按定理中的条件即可证得结论成立。
参考文献:
[1] CURTIN M E, AMY R C. Nonlinear age-dependent population dynamics[J]. Arch Rat Mech Anal, 1994,54: 281-300
[2] 宋健.