数值分析课后习题答案.doc

题12 给定节点,,,,试分别对下列函数导出拉格朗日插值余项:
(1)      
(2)      
解(1),
由拉格朗日插值余项得;
(2)
由拉格朗日插值余项得.

题15 证明:对于以,为节点的一次插值多项式,插值误差.
证由拉格朗日插值余项得,其中,
.
题22 采用下列方法构造满足条件,的插值多项式:
(1)       用待定系数法;
(2)       利用承袭性,先考察插值条件,的插值多项式.
解(1)有四个插值条件,故设,,代入得方程组
解之,得
;
(2)先求满足插值条件,的插值多项式,由0为二重零点,可设,代入,得,;
再求满足插值条件,的插值多项式,可设,,代入,得,.
题33 设分段多项式是以为节点的三次样条函数,试确定系数的值.
解由得,;
,由得,;
联立两方程,得,
且此时,,
是以为节点的三次样条函数.
题35 用最小二乘法解下列超定方程组:.
解记残差的平方和为
令,得,解之得.
题37 用最小二乘法求形如的多项式,使与下列数据相拟合:
19
25
31
38
44





 
解拟合曲线中的基函数为,,
其法方程组为,
其中,,,,
,解之得,.
第二章
题3 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量地高,并指明求积公式所具有的代数精度:
(2)      
(2)从结论“在机械求积公式中,代数精度最高的是插值型的求积公式”出发,
,
,
,
,
当时,有
左边=,
右边=,
左边=右边,
当时,有
左边=,
右边=,
左边≠右边,所以该求积公式的代数精度为3.
题8 已知数据表






试分别用辛甫生法与复化梯形法计算积分.
解辛甫生法
;
复化梯形法
.
题17 用三点高斯公式求下列积分值.
解先做变量代换,设,
则=
.
第三章
用欧拉方法求解初值问题,:
(1)       试导出近似解的显式表达式;
解(1)其显示的Euler格式为:
故
将上组式子左右累加,得
题10 选取参数、,使下列差分格式具有二阶精度:.
解将在点处作一次泰勒展开,得
代入,得
而
考虑其局部截断误差,设,比较上两式,当, 时,
.
 
第四章
题2 证明方程有且仅有一实根;试确定这样的区间,使迭代过程对一切均收敛.
解设,则在区间上连续,
且,,
所以在上至少有一根;
又,所以单调递增,故在上仅有一根.
迭代过程,其迭代函数为,
,,;
,,
由压缩映像原理知,均收敛.
注这里取为区间,也可取为区间等.
题5 考察求解方程的迭代法
(1)   证明它对于任意初值均收敛;
(2)   证明它具有线性收敛性;
证(1)迭代函数为,
,;
又,
由压缩映像原理知,均收敛;
(2)(否则,若,则,不满足方程),所以迭代具有线性收敛速度;
题7 求方程在附近的一个根,证明下列两种迭代过程在区间上均收敛:
(1)   改写方程为,相应的迭代公式为;
(2)   改写方程为,相应的迭代公式为.