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累积和控制图
概述
CUSUM控制图的设计思想就是对数据的信息加以积累。CUSUM控制图分别可用于计量性数据(正态分布),不合格品数(泊松分布变量),不合格品率(二项分布变量)。CUSUM控制图的理论基础是序贯分析原理中的序贯概率比检验,这是一种基本的序贯检验法。该控制图通过对信息的累积,将过程的小偏移累加起来,达到放大的效果,提高检测过程小偏移的灵敏度。
对于不同的累积和控制图,有一个基本的共同点即:首先提出原假设和备择假设,其次对假设进行检验并做出结论。
在实际应用中,用累积的统计值构建的控制图其敏感性和检出效果要明显强于凭单个样本值构建的控制图,原因在于该图是通过对样本均值、样本波动、极差等质量特性值的累积和建立的。它也可以对属性值进行累积。
序贯概率比检验
序贯概率比检验是每次只从需检测的一批产品中抽检一个样本的产品,然后根据过去抽检的各样本的测试结果,比较在两种不同假设时出现上述序贯测试结果的概率,以这两种概率的比值(统计上称为对的似然比)作为判断的依据。
1)如果概率比远大于1,说明成立的可能性大;
2)如果概率比远小于1,说明成立的可能性大;
3)如果两种假设下的概率相差不大,则继续抽检下一个样本。
序贯概率比检验
命题1
若,则接受;
若则接受;
若接续抽检下一个样本。
,并证明在使用时可近似取
当为真时接受的概率近似等于,其中为第一类错误概率;
当为真时接受的概率近似等于,其中为第二类错误概率。
传统的CUMSUM
本节主要讲述在假设样本数据服从正态分布的前提下,基于过程均值的单侧检验和双侧检验的CUMSUM的构造步骤与方法。
(单侧检验仅检验均值的上偏或下偏),一般的CUMSUM的双侧检验同时检验均值的上偏和下偏,建立在假设检验的理论基础之上,分别作出原假设和备择假设,对连续的似然比率进行检验步骤如下:
原假设:H0: μ=μ0
备择假设: H1: μ=μ1 (μ1>μ0),
μ是样本均值,Ⅰ、Ⅱ类错误的概率分别设为α和β,当
β/1-α<序贯概率比〈1-β/α(2)
时,不能作出接受或拒绝H0和H1的判断。公式2可用来对呈上升趋势的均值构造一个单侧检验控制图。假如我们有一组按时间顺序测得的独立样本数据即:X1 X2 …Xt,且服从正态分组且样本方差已知为,均值未知,序贯概率比用如下公式计算:
(3)
现对其进行检验,则:
△1=μ1-μ0
  (4)
St是对两个均值平均数的样本差的累积和。如图1 所示,上下控制分别根据方程(3)确定。按抽样程序,在抽到第6个样本点时,停止抽样并接受H0:µ=µ0 ,因为样本差的累积和超出了下控制线。同样在第18个样本点,接受: H1:µ=µ1
因为此时样本点超出上控制线。
-20
-10
0
-30
样本数,t
+10
10
0
20
累积和控制图上控制线
图1 连续抽样的累积和控制图
St
在单侧检验控制图中,可接受上限常常定为控制图上控制限,而下控制限由于无实际意义,一般不预研究,所以图1中虽然第六个点已超出下控制限也就无须采取补救措施,而第18个样本点则相反。总之,单边控制图主要研究均值上偏移的趋势。
若需要同时对大于和小于μO的两种情况加以研究时,我们可以借助一对单侧检验控制图,分别对向上和向下的变动进行研究。目标均值分别记为μ1>μO和μ2<μO,对应的发生第二类错误的风险概率分别为β1和β2,发生第一类错误的风险概率为2α,