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第五章定积分及其应用
§ 定积分及应用内容网络图
定积分及其应用
定积分
定义
可积的条件
性质
计算方法
中值定理
13条基本性质性质
变上限积分求导定理
牛顿一莱布尼兹公式
基本方法
变量代换
凑微分
分部积分
换元法
应用
微元法
几何应用
平面图形面积
旋转体及一般立体的体积
平面曲线弧长
物理应用
质量
重心坐标
转动惯量
引力
压力
广义积分
第一类广义积分(区间无界)
第二类广义积分(被积函数无界)
§ 内容提要与释疑解难
定积分的概念是由求曲边梯形面积,变力作功,已知变速直线运动的速度求路程,密度不均质线段的质量所产生。
定义设函数f(x)在闭区间[a,b]上有定义,在闭区间[a,b]内任意插入n-1个分点将[a,b]分成
n个小区间,记,,作乘积(称为积分元),把这些乘积相加得到和式(称为积分和式)设,若
极限存在唯一且该极限值与区是[a,b]的分法及分点的取法无关,则称这个唯一的极限值为函数f(x)在[a,b]上的定积分,记作,即.
否则称f(x)在[a,b]上不可积.
注1:由牛顿莱布尼兹公式知,计算定积分与原函数有关,故这里借助了不定积分的符号。
注2:若存在,区间[a,b]进行特殊分割,分点进行特殊的取法得到的和式极限存在且与定积分的值相等,但反之不成立,这种思想在考题中经常出现,请读者要真正理解。
注3:定积分是否存在或者值是多少只与被积函数式和积分区间有关与积分变量用什么字母表示无关,即
定积分的几何意义: 若f(x)在[a,b]上可积,且则表示曲线与直线所围成的曲边梯形的面积.
同样,变力所作的功(其中f(x)是变力)变速直线运动的路程(是瞬时速度),密度不均质直线段[,b]的质量(其中是线密度)。
规定
定性若函数f(x)在闭区间[,b]上可积,则f(x)在[,b]上有界,反之不成立。
例.
事实上,因为不论把[0,1]分割得多么细,在每个小区间中,总能找到有理数,无理数,知知不存在。
定理若f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可积.
定理若f(x)在闭区间[a,b]上只有有限个间断点且有界,则f(x)在[a,b]上可积.
定理若f(x)在闭区间[a,b]上单调,则f(x)在[a,b]上可积
定积分的性质
性质1
性质2 (线性运算法则)设在[a,b]上可积,对任何常数则
.
该性质用于定积分的计算与定积分的证明.
性质3 (区间的可加性),若f(x)在以a,b,c为端点构成的最大区间上可积,则不论a,b,c顺序如何,有
该性质用于计算分段函数的定积分与定积分的证明.
性质4 若f(x)在[a,b]上可积且则.
性质5 若f(x),g(x)在[a,b]上可积且则
性质6 若f(x)在[a,b]上连续,且f(x) 0则
性质7 若f(x),g(x)在[a,b]上连续且但,则.
性质8 若f(x)在[a,b]上可积,则.
性质9 若f(x)在[a,b]上可积,m,M是f(x)在区间[a,b]上的最小值与最大值,则
性质4、5、6、7、8、9主要用于定积分不等式的证明及不通过定积分的计算,估计定积分值的范围.
性质10 (积分中值定理)若f(x)在闭区间[a,b]上连续,则至少存在一点,使
而称为f(x)在区间[a,b]上的平均值,即闭区间[a,b]上连续函数f(x)的平均值是
注:这里的与是不同的。
性质11 (推广的积分中值定理),设在[a,b]上连续,且g(x)在[a,b]上不变号,则至少存在一点,使
柯西----许瓦尔兹(Cauchy—schwarz)
性质12 设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,则
(1)
(2)
性质13 变上限积分求导定理设f(x)连续,可导,则
§ 解题基本方法与技巧
一、有关定积分命题的证明
利用积分中值理,定积分的13条性质,规定尤其是变上限积分求导定理及微分中值定理,可证明涉及到定积分的有关命题,包括方程根的存在性,适合某种条件的存在性及定积分的不等式等,证明方法与技巧与第三章我们介绍的证明思想完全类似。

例1 设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且证明在(0。1)内存在一点,使.
证由积分中值定理知,在上存在一点c,使且,由f(x)在(0,c)上连续,在[0,c]内可导,f(0)=f(c),由罗尔定理知至少存在一点使
例2 设函数f(x)在上连续,且,试证:在内至少存在两个不同的,使
证法一令则有,又因为,
所以存在,使因为若不然,则在内或F(x)sinx恒为正或F(x)sinx恒