基础班讲义高数.docx

一函数、极限与连续
(一)本章重点内容
,既要准确理解极限的概念和极限存在的充要条件,又要能正确求出各种极限,求极限的方法很多,在考试中常用的主要方法有:
(1)利用极限的四则运算法则及函数的连续性;
(2)利用两个重要极限,两个重要极限即
(3)利用洛必达法则及泰勒公式求未定式的极限;
(4)利用等价无穷小代替(常会使运算简化);
(5)利用夹逼定理;
(6)先证明数列的极限存在(通常会用到“单调有界数列必有极限”的准则),再利用关系式求出极限;
(7)利用定积分求某些和式的极限;
(8)利用导数的定义;
(9)利用级数的收敛性证明数列的极限为零。
这里需要指出的是:题型与方法并不具有确定的关系,一种题型可以有多种计算法,一种方法也可能用于几种题型,有时在一个题目中要用到几种方法,所以还要具体问题具体分析,方法要灵活.
,所以判断函数是否连续、判断函数的间断点类型等问题本质上仍是求极限,因此这部分也是重点。
,重点是复合函数和分段函数以及函数记号的运算,以及常用的4类函数及函数的8种表现形式.
通过历年试题归类分析,本章常见的典型题型有:
;
、判断间断点的类型;
;
,或方程在给定区间有无实根;
。
(二)题型分析
主要是求未定式的极限及反求参数
主要方法:①洛必达法则
②等价无穷小替换
③8个重要极限的应用
④左右极限法
⑤未定型中型的解题技巧
⑥两边夹准则的应用
⑦递归法求极限
⑧利用连续性反求极限
⑨利用导数求极限
⑩利用定积分求极限
⑾利用级数反求极限(4个反求极限)
⑿利用函数极限求数列极限
⒀利用泰勒公式求极限

比较当时,,,的阶.
记住
当时,,,,,趋于的速率为依次递增.
当时,,,,,趋于零的速率为依次递增.
例3.
例4.
练****br/>
例1.
例2.
,b,c使

例1.
例2.

①用于分段函数分界点处极限的处理
②,
③特别带绝对值符号的情况的处理。
例1. 求
例2.
确定a,使存在

在N项以后成立即可,若,且易求,可得.
主要用放缩法:
①分母扩大或缩小
②利用极限不等式性质
③利用定积分不等式的性质等
例1.
例2.[x]表示不超过x的最大整数部分,求
(m2) 求,
,则
A 0 B 存在,不一定为0
C 不一定存在 D 一定不存在
6 用递归法求极限
若(n=1,2),为一元连续函数,由可求出,
方法:利用单调有界数列必收敛,证其收敛,然后,设,对递归方程,两边取极限得:A=,解出A即可。事实上,递归数列的单调性和的单调性有关!

试证{}收敛,并求
,求
7利用函数极限求数列极限
洛必达法则对数列极限不适用,但转化为函数极限时适用,故可视为函数极限的子列的极限即可!
例如:若求,只需即可.


例.
下面为一些综合性例子
1.
2 求

,求a,b
5.

(0,) 内间断点,并判断其类型。
例2.=在R连续,且,则a,b满足
A a<0 , b<0 B a>0 , b>0
C a0, b>0 D a0 , b<0
,则为的
A 连续点 B第一类间断点
C 第二类间断点 D和 t 有关
:
A 在处连续,.
B 连续,.
C 在处连续,.
D 以上均不正确.
二一元微分学
(一)本章重点内容
一元函数微分学在微积分中占有极重要的位置,内容多,影响深远,在后面绝大多数章节都要涉及到它.
本章内容归纳起来有以下几个部分:
:导数和微分的定义,特别要会利用导数定义讨论分段函数在分界点的可导性,高阶导数,可导与连续的关系;
:基本初等函数的导数、微分公式、导数的四则运算、反函数、复合函数、隐函数和由参数方程确定的函数的求导公式,特别掌握“链式法则”.
.
,尤其是隐函数给出的曲线的切线法线方程.
(二)题型分析
.