（浙江专版）2019年高考数学一轮复习专题4.7解三角形及其应用举例（讲）.doc

第07节解三角形及其应用举例
【考纲解读】
考点
考纲内容
5年统计
分析预测
正弦定理和余弦定理
掌握正弦定理、余弦定理及其应用
2014浙江文18;理10,18;
2015浙江文16;理16;
2016浙江文16;理16;
2017浙江14;
2018浙江卷13..
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;
.
,关键是弄懂有关术语,认真理解题意. 从浙江卷来看,三角形中的应用问题,主要是结合直角三角形,考查边角的计算,也有与导数结合考查的情况.
:
(1)掌握正弦定理、余弦定理;
(2)掌握几种常见题型的解法.
(3)理解三角形中的有关术语.
【知识清单】
1. 测量距离问题
实际问题中的有关概念
(1)仰角和俯角:在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图1).
(2)方位角:从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α(如图2).
(3)方向角:相对于某一正方向的水平角(如图3)
①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向.
②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向.
③南偏西等其他方向角类似.

(4)坡度:
①定义:坡面与水平面所成的二面角的度数(如图4,角θ为坡角).
②坡比:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图4,i为坡比).
2. 测量高度问题
余弦定理: , , .
变形公式cos A=,cos B=,os C=
3. 测量角度问题
应熟练掌握正、,有时可用正弦定理,也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理.
【重点难点突破】
考点1 测量距离问题
【1-1】【2018届广东省珠海市珠海二中、斗门一中高三上期中联考】如图,从气球上测得正前方的河流的两岸, 的俯角分别为, ,此时气球的高是,则河流的宽度等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
因为从气球上测得正前方的河流的两岸, 的俯角分别为, ,, , ,故选C.
【1-2】如图所示,要测量一水塘两侧A,B两点间的距离,其方法先选定适当的位置C,用经纬仪测出角α,再分别测出AC,BC的长b,a,则可求出A,=.若测得CA=400 m,CB=600 m,∠ACB=60°,试计算AB的长.
【答案】
【1-3】如图,A,B两点在河的同侧,且A,B两点均不可到达,测出AB的距离,测量者可以在河岸边选定两点C,D,测得CD=a,同时在C,D两点分别测得∠BCA=α,∠ACD=β,∠CDB=γ,∠BDA=△ADC和△BDC中,由正弦定理分别计算出AC和BC,再在△ABC中,= km,∠ADB=∠CDB=30°,∠ACD=60°,∠ACB=45°,求A,B两点间的距离.
【答案】
【解析】∵∠ADC=∠ADB+∠CDB=60°,∠ACD=60°,∴∠DAC=60°,∴AC=DC=.
在△BCD中,∠DBC=45°,由正弦定理,得BC=·sin∠BDC=·sin 30°=.
在△ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos 45°=+-2×××=.
∴AB=(km).∴A,B两点间的距离为 km.
【领悟技法】
研究测量距离问题,解决此问题的方法是:选择合适的辅助测量点,构造三角形,将问题转化为求某个三角形的边长问题,从而利用正、:
(1)两点都不可到达;
(2)两点不相通的距离;
(3)两点间可视但有一点不可到达.
【触类旁通】
【变式一】【2018届江西省南昌市第一轮训练六】一艘海警船从港口出发,以每小时海里的速度沿南偏东方向直线航行, 分钟后到达处,这时候接到从处发出的一求救信号,已知在的北偏东,港口的东偏南处,那么, 两点的距离是( )
A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里
【答案】A
【解析】如图
由已知可得,∠BAC=30°,∠ABC=105°,AB=20,从而∠ACB=45°.
在△ABC中,由正弦定理可得BC= ×sin30°=10.
故答案为:A.
【变式二】如图所示,设A、B两点在河的两岸,一测量者在A所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离为50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算A、B两点的距离为( )

【答案】 A
【解析】由题意知∠ABC=30°,由正弦定理=,∴AB===50(m).
考