数值分析复习题(钟尔杰).ppt

《数值分析》复****题
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1 – x – sin x = 0 在区间[0,1]上有一根。×10-4的根需二分多少次?
* 是非线性方程 f(x) = 0 的单根,证明在牛顿迭代法中,有
,试建立求(1/a)的牛顿迭代公式,要求在迭代公式中不含有除法运算,并考虑迭代公式产生的数列{ xn }的收敛性.
Ex4. 分析下列方程,确定方程的全部隔根区间
(1)x sin x = 1;(2)sin x – e -x =0;
(3)x = tan x;(4)x2 – e-x =0。
Ex5. 对于二元方程G(x,y)=0,已知(x0,y0)满足方程。如果,则根据隐函数存在定理,在点x0附近有函数y =y(x),对于接近于x0的自变量x,试构造牛顿迭代法计算隐函数值的迭代格式。
{ xn }收敛到非线性方程
f(x) = 0 的单根x*。利用牛顿插值公式计算
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<0, 由迭代格式
( n = 0, 1, ……)
产生的迭代序列{xn}, 均收敛于- 。
{ xn }具有一阶收敛速度,其极限值为x*,试利用近似关系
推导加速收敛公式
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z = x + i y 的复值函数 f(z),应用牛顿迭代公式求方程f(z) = 0 的复根时,有迭代公式
为了避开复数运算,令
zn = xn + i yn, f(zn) = An+ iBn,f’(zn) = Cn+iDn
试证明用于计算的公式
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f(x) = 0 的割线法计算公式
(n = 0, 1, 2 , ·····)

ρ(A) ≤|| A ||
其中,|| A ||为A的任何一种算子范数。
的收敛阶
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Ex 11. 对下列矩阵做LU分解
Ex 12 求上三角(下三角)矩阵的条件数
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,y∈Rn,利用向量范数的三角形不等式证明:
X∈R ,X = (x1,x2,……,xn )T,求证
,A是n×:
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= b,其中A为对称正定阵,且有迭代公式
讨论使迭代序列收敛的的取值范围.
阶矩阵A,设A的顺序主子式都不为零,试证明消元过程中出现的Frobenius矩阵有如下性质
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Ax = b,其系数矩阵主对角元
aii ≠ 0 ( i = 1,2,…,n )
证明解方程组的Jacobi迭代法收敛的充要条件是
的根满足||< 1。
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Ex 19. 设A是对称矩阵,将A分裂为A = D – L – U。Gauss-Seidel迭代格式的向前和向后两种形式分别为
x(k+1) = x(k) + (D – L )-1(b – A x(k) )
x(k+1) = x(k) + (D – U )-1(b – A x(k) )
如果将向前和向后迭代格式交替进行,则有
x(k+2) = x(k) + M-1(b – A x(k) )
试证明:M-1= (D – U)-1D(D – L)-1。
Ex 20 设h = 1/(n+1),分析n阶矩阵的Jacobi迭代矩阵特征值
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