高一数学函数单调性与最值含解析.doc

函数单调性引入对于二次函数fx=x2,我们可以这样描述“在区间(0,+∞)上,随着x的增大,相应的fx也随着增大”;在区间(0,+∞)上,任取两个x1,x2,得到fx1=x12,fx2=x22,当x1<x2时,有fx1<,我们就说函数fx=x2在区间(0,+∞)、函数增减性的定义一般地,设函数fx的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有fx1<fx2,那么就说函数在区间D上是增函数(increasingfunction)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有fx1>fx2,那么就说函数在区间D上是减函数(decreasingfunction).【例1】下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是( )(x)=3-x (x)=x2-(x)=-(x)=-|x|【解析】选C 当x>0时,f(x)=3-x为减函数;当x∈时,f(x)=x2-3x为减函数,当x∈时,f(x)=x2-3x为增函数;当x∈(0,+∞)时,f(x)=-为增函数;当x∈(0,+∞)时,f(x)=-|x|.【例2】判断函数g(x)=在(1,+∞)上的单调性.【解】任取x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,则g(x1)-g(x2)=-=,因为1<x1<x2,所以x1-x2<0,(x1-1)(x2-1)>0,因此g(x1)-g(x2)<0,即g(x1)<g(x2).故g(x)在(1,+∞)上是增函数.【例3】求下列函数的单调区间.(1)f(x)=3|x|; (2)f(x)=|x2+2x-3|;(3)y=-x2+2|x|+1.【解】(1)∵f(x)=3|x|=(x)在(-∞,0]上是减函数,在[0,+∞)上是增函数.(2)令g(x)=x2+2x-3=(x+1)2-(x)的图象,保留其在x轴及x轴上方部分,把它在x轴下方的图象翻到x轴上方就得到f(x)=|x2+2x-3|的图象,:函数的递增区间是[-3,-1],[1,+∞);函数的递减区间是(-∞,-3],[-1,1].(3)由于y=即y=画出函数图象如图所示,单调递增区间为(-∞,-1]和[0,1],单调递减区间为[-1,0]和[1,+∞).【例4】求函数y=的单调区间.【解】令u=x2+x-6,y=可以看作有y=与u=x2+x-=x2+x-6≥0,得x≤-3或x≥2.∵u=x2+x-6在(-∞,-3]上是减函数,在[2,+∞)上是增函数,而y=在(0,+∞)上是增函数.∴y=的单调减区间为(-∞,-3],单调增区间为[2,+∞).【例5】证明:函数fx=x3+x在R上是增函数【变式1】利用函数单调性的定义,证明函数fx=x在区间0,+∞上是增函数。【例6】讨论函数fx=x+axa>0的单调性,请作出当a=1时函数的图像。【变式2】讨论fx=axx2-1-1<x<1,a≠0的单调性2、函数的单调区间如果函数y=fx在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=fx在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=fx的单调区间.(1)区间端点的确认函数在其定义域内某一点处的函数值是确定的,讨论