第八章向量代数空间解析几何教案(同济大学版高数).doc

第八章向量代数与空间解析几何第一节向量及其线性运算教学目的:将学生的思维由平面引导到空间,使学生明确学****空间解析几何的意义和目的。使学生对(自由)向量有初步了解,为后继内容的学****打下基础。教学重点:::一、:既有大小,又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量,其长度表示向量的大小,其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量(以后简称向量)。量的表示方法有:、、、等等。向量相等:如果两个向量大小相等,方向相同,则说(即经过平移后能完全重合的向量)。量的模:向量的大小,记为、。模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。量平行:两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。负向量:大小相等但方向相反的向量,记为二、:加法运算规律:平行四边形法则(有时也称三角形法则),其满足的运算规律有交换率和结合率见图7-:设是一个数,向量与的乘积规定为时,与同向,时,时,与反向,其满足的运算规律有:结合率、分配率。设表示与非零向量同方向的单位向量,那么定理1:设向量a≠0,那么,向量b平行于的充分必要条件是:存在唯一的实数λ,使b=例1:在平行四边形ABCD中,设,,试用和b表示向量、、和,这里M是平行四边形对角线的交点。(见图7-5) 图7-4解:,于是由于,于是又由于,于是由于,于是三、(一维)、平面直角坐标系(二维)进一步推广建立空间直角坐标系(三维)如图7-1,其符合右手规则。即以右手握住轴,当右手的四个手指从正向轴以角度转向正向轴时,大拇指的指向就是轴的正向。间直角坐标系共有八个卦限,各轴名称分别为:轴、轴、轴,坐标面分别为面、面、面。坐标面以及卦限的划分如图7-2所示。图7-1右手规则演示图7-2空间直角坐标系图 图7-。通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应起来。注意:特殊点的表示a)在原点、坐标轴、坐标面上的点;b)关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法。。若、为空间任意两点,则的距离(见图7-3),利用直角三角形勾股定理为:而所以特殊地:若两点分别为,例1:求证以、、三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。证明: 由于,原结论成立。例2:设在轴上,它到的距离为到点的距离的两倍,求点的坐标。解:因为在轴上,设P点坐标为所求点为:,四、,使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应关系,同样地,为了沟通数与向量的研究,需要建立向量与有序数之间的对应关系。 设a=是以为起点、为终点的向量,i、j、k分别表示图7-5沿x,y,z轴正向的单位向量,并称它们为这一坐标系的基本单位向量,由图7-5,并应用向量的加法规则知:i+j+k或 a=axi+ayj+azk上式称为向量a按基本单位向量的分解式。 有序数组ax、ay、az与向量a一一对应,向量a在三条坐标轴上的投影ax、ay、az就叫做向量a的坐标,并记为 a={ax,ay,az}。上式叫做向量a的坐标表示式。 于是,起点为终点为的向量可以表示为特别地,点对于原点O的向径注意:向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。 向量a在坐标轴上的投影是三个数ax、ay、az, 向量a在坐标轴上的分向量是三个向量axi、ayj、 设,即,则加法: 减法: 乘数: 或平行:若a≠0时,向量相当于,即也相当于向量的对应坐标成比例即五、向量的模、方向角、投影 设,可以用它与三个坐标轴的夹角(均大于等于0,小于等于)来表示它的方向,称为非零向量a的方向角,见图7-6,其余弦表示形式称为方向余弦。模方向余弦由性质1知,当时,有任意向量的方向余弦有性质:与非零向量a同方向的单位向量为:例:已知两点M1(2,2,)、M2(1,3,0),计算向量的模、方向余弦、方向角以及与同向的单位向量。解:={1-2,3-2,0-}={-1,1,-} ,, ,, 设为与同向的单位向量,由于 即得向量在轴上的投影(1)轴上有向线段的值:设有一轴,是轴上的有向线段,如果数满足,且当与轴同向时是正的,当与轴反向时是负的,那么数叫做轴上有向线段的值,记做AB,即。设e是与轴同方向的单位向量,则设A、B、C是u轴上任意三点,不论三点的相互位置如何,总有两向量夹角的概念:设有两个非零向量和b,任取空间一点O,作,,规定不超过的称为向量和b的夹角,记为空间一点A在轴上的投影:通过点A作轴