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“数学概念学习中的错误分析”之分析
徐文彬
(南京师范大学教育科学学院,江苏南京 210097)
摘要:对数学概念学习中的错误作调查分析,不能仅仅局限于调查所得的抽象的具体数字或数据,更要明确调查中所设计问题的论域,并结合具体的语境,对作为社会行动者的学生之响应作出合情合理的分析与建议.
关键词:论域;社会行动者;语境
李善良先生在《数学概念学习中的错误分析》[1]一文中就其所概括的数学概念学习过程中的两种错误,即过程性错误和“合理性”错误进行了精细的建构主义分析,对我们正确理解、防范并克服学生在学习数学概念的过程中有可能出现的各类错误具有原则性和策略性[2]的启发作用。但是,我们认为文[1]、社会心理学和应用语言学等视角对其做进一步的分析.
1、逻辑学视角
从逻辑学的视角来看,任何问题或提问都预设着该问题或提问所涉及到的范围,,当问题或提问的设计者所预设的论域和问题的解决者(或回答者)所选择的论域不一致的时候,即使问题的解决者(或回答者)在其所选择的论域范围内所做的解答是正确的,也会被解答的分析者(以问题或提问设计者的预设为分析标准,而且分析者通常就是设计者)视为“错误”.我们认为,为避免出现这类“合理性”错误,问题(或提问)(或提问)所涉及到的论域,那么文[1],这需要作更进一步的调查与分析.
例1 “对于方程x2+2x+3=0,许多大学生认为没有根.”
分析从这一结果与分析我们可以看出:问题设计者与结果分析者所预设的x的取值范围显然是复数域C,而这些“认为没有根”,这正是造成这一所谓“合理性”错误的真正原因所在,而不是什么“认知的惯性”“在复数范围内求方程x2+2x+3=0的根”,那么又会有几个(数学专业)大学生会认为这个方程没有根呢?或者,如果问题是“在实数范围内求方程x2+2x+3=0的根”,那么这些“认为没有根”的大学生就是正确的,因而也就根本没有犯什么所谓“合理性”错误.
例2 “已知:x2+y2=0,求x、y.”
分析从问题的设计者和结果的分析者所作的分析(具体分析可参见文[1]),我们能够看出:他们所预设的论域仍然是复数域C,而“得x=y=0”的那些(大)学生们所选择的论域也没有变,“在实数或复数范围内,已知x2+y2=0,试求x、y之间的关系.
”那么,如果是前者,则那些“得x=y=0”的学生就没有错,而如果是后者,则那些“得x=y=0”的学生数量至少会降低.
行文至此,可能有的读者会提出如下的疑问:如果明确了问题或提问所涉及到对象的范围,那么势必会降低问题或提问的难度,体现不出对学生的考察之功能?对此,我们的观点是:如果问题或提问的设计者和结果的分析者想要以其所预设的论域为评判学生“解答”的“惟一”标准,那么,,在考察者和被考察者之间就建立不起真正公正的“评判关系”,,如果我们的问题是:“1+1=?”,那