二次函数闭区间上的最值问题.doc

一、二次函数闭区间上的最值问题一元二次函数的区间最值问题,核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为:对称轴在区间的左边,中间,,求在上的最大值与最小值。分析:将配方,得对称轴方程当时,抛物线开口向上若必在顶点取得最小值,离对称轴较远端点处取得最大值;若当时,抛物线开口向上,此时函数在上具有单调性,故在离对称轴较远端点处取得最大值,较近端点处取得最小值。当时,如上,作图可得结论,对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下:,给出的定义域区间也是固定的,我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。,最小值是_______。例1:解:函数是定义在区间上的二次函数,其对称轴方程是,顶点坐标为(2,2),且其图象开口向下,显然其顶点横坐标在[0,3]上,如图1所示。函数的最大值为,最小值为。,求函数的最值。例2:解:由已知,可得,即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配方得,其对称轴方程,顶点坐标,且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内,如图2所示。函数的最小值为,最大值为。解后反思:已知二次函数(不妨设),它的图象是顶点为、对称轴为、开口向上的抛物线。由数形结合可得在上的最大值或最小值:(1)当时,的最小值是的最大值是中的较大者。(2)当时若,由在上是增函数则的最小值是,最大值是若,由在上是减函数则的最大值是,,即其图象是运动的,但定义域区间是固定的,我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。,且,求函数的最值。例3:解:由已知有,于是函数是定义在区间上的二次函数,将配方得:二次函数的对称轴方程是顶点坐标为,图象开口向上由可得,显然其顶点横坐标在区间的左侧或左端点上。函数的最小值是,最大值是。,求实数a的值。例4:解:将二次函数配方得,其对称轴方程为,顶点坐标为,图象开口方向由a决定。很明显,其顶点横坐标在区间上。若,函数图象开口向下,如图4所示,当时,函数取得最大值5即解得故若时,函数图象开口向上,如图5所示,当时,函数取得最大值5即解得故综上讨论,函数在区间上取得最大值5时,解后反思:例3中,二次函数的对称轴是随参数a变化的,但图象开口方向是固定的;例4中,二次函数的对称轴是固定的,但图象开口方向是随参数a变化的。,但它的定义域区间是随参数t而变化的,我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。,求的最小值。例5:解:函数,其对称轴方程为,顶点坐标为(1,1),图象开口向上。如图6所示,若顶点横坐标在区间左侧时,有。当时,函数