最小二乘法原理.doc

最小二乘法原理
在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时,通常可以得到一系列成对的数据(x1, , y2... xm , ym);将这些数据描绘在x -y直角坐标系中,若发现这些点在一条直线附近,可以令这条直线方程如(式1-1)。
Y计= a0 + a1 X (式1-1)
其中:a0、a1 是任意实数
为建立这直线方程就要确定a0和a1,应用《最小二乘法原理》,将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计=a0+a1X)的离差(Yi-Y计)的平方和〔∑(Yi - Y计)2〕最小为“优化判据”。
令: φ= ∑(Yi - Y计)2 (式1-2)
把(式1-1)代入(式1-2)中得:
φ= ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3)
当∑(Yi-Y计)平方最小时,可用函数φ对a0、a1求偏导数,令这两个偏导数等于零。
(式1-4)
(式1-5)
亦即:
m a0 + (∑Xi ) a1 = ∑Yi (式1-6)
(∑Xi ) a0 + (∑Xi2 ) a1 = ∑(Xi, Yi) (式1-7)
得到的两个关于a0、 a1为未知数的两个方程组,解这两个方程组得出:
a0 = (∑Yi) / m - a1(∑Xi) / m (式1-8)
a1 = [n∑Xi Yi - (∑Xi ∑Yi)] / [n∑Xi2 - (∑Xi)2 )] (式1-9)
这时把a0、a1代入(式1-1)中, 此时的(式1-1)就是我们回归的元线性方程即:数学模型。
在回归过程中,回归的关联式是不可能全部通过每个回归数据点(x1, y1. x2, y2...xm,ym),为了判断关联式的好坏,可借助相关系数“R”,统计量“F”,剩余标准偏差“S”进行判断;“R”越趋近于 1 越好;“F”的绝对值越大越好;“S”越趋近于 0 越好。
R = [∑XiYi - m (∑Xi / m)(∑Yi / m)]/ SQR{[∑Xi2 - m (∑Xi / m)2][∑Yi2 - m (∑Yi / m)2]} (式1-10) *
在(式1-1)中,m为样本容量,即实验次数;Xi、Yi分别任意一组实验X、Y的数值。
最小二乘法公式
最小二乘法公式
∑(X--X平)(Y--Y平)=∑(XY--X平Y--XY平+X平Y平)=∑XY--X平∑Y--Y平∑X+nX平Y平=∑XY--nX平Y平--nX平Y平+nX平Y平=∑XY--nX平Y平
∑(X --X平)^2=∑(X^2--2XX平+nX平^2)=∑X^2--2nX平^2+nX平^2=∑X^2--nX平^2
Y=kX+b: k=((XY)平--X平*Y平)/(X^2--(X平)^2 ;b=Y平--kX平
X平=1/n∑Xi;(XY)平=1/n∑XiYi
编辑本段最小二乘法拟合
对给定数据点{(Xi,Yi)}(i=0,1,…,m),在取定的函数类Φ中,求p(x)∈Φ,使误差的平方和E^2最小,E^2=∑[p(Xi)-Yi]^2。从几何意义上讲,就是寻求与给定点{(Xi,Yi)}(i=0,1,…,m)的距离平方和为最小的曲线y=p(x)。函数p(x)称为拟合函数或最小二乘解,求拟合函数p(x)的方法称