线性代数应用题（精选）.doc

线性代数应用题集锦
郑波
重庆文理学院数学与统计学院
2011年10月
目录
案例一. 交通网络流量分析问题 1
案例二. 配方问题 4
案例三. 投入产出问题 6
案例四. 平板的稳态温度分布问题 8
案例五. CT图像的代数重建问题 10
案例六. 平衡结构的梁受力计算 12
案例七. 化学方程式配平问题 14
案例八. 互付工资问题 16
案例九. 平衡价格问题 18
案例十. 电路设计问题 20
案例十一. 平面图形的几何变换 22
案例十二. 太空探测器轨道数据问题 24
案例十三. 应用矩阵编制Hill密码 25
案例十四. 显示器色彩制式转换问题 27
案例十五. 人员流动问题 29
案例十六. 金融公司支付基金的流动 31
案例十七. 选举问题 33
案例十八. 简单的种群增长问题 34
案例十九. 一阶常系数线性齐次微分方程组的求解 36
案例二十. 最值问题 38
附录数学实验报告模板 39
这里收集了二十个容易理解的案例. 和各类数学建模竞赛的题目相比, 这些案例确实显得过于简单. 但如果学生能通过这些案例加深对线性代数基本概念、理论和方法的理解, 培养数学建模的意识, 那么我们初步的目的也就达到了.
案例一. 交通网络流量分析问题
城市道路网中每条道路、每个交叉路口的车流量调查,是分析、评价及改善城市交通状况的基础。根据实际车流量信息可以设计流量控制方案,必要时设置单行线,以免大量车辆长时间拥堵。
图1 某地交通实况
图2 某城市单行线示意图
【模型准备】某城市单行线如下图所示, 其中的数字表示该路段每小时按箭头方向行驶的车流量(单位: 辆).
500
1
2
3
4
400
300
100
200
300
x1
x2
x3
x4
图3 某城市单行线车流量
(1) 建立确定每条道路流量的线性方程组.
(2) 为了唯一确定未知流量, 还需要增添哪几条道路的流量统计?
(3) 当x4 = 350时, 确定x1, x2, x3的值.
(4) 若x4 = 200, 则单行线应该如何改动才合理?
【模型假设】(1) 每条道路都是单行线. (2) 每个交叉路口进入和离开的车辆数目相等.
【模型建立】根据图3和上述假设, 在①, ②, ③, ④四个路口进出车辆数目分别满足
500 = x1 + x2 ①
400 + x1 = x4 + 300 ②
x2 + x3 = 100 + 200 ③
x4 = x3 + 300 ④
【模型求解】根据上述等式可得如下线性方程组
其增广矩阵
(A, b) =
由此可得
即
.
为了唯一确定未知流量, 只要增添x4统计的值即可.
当x4 = 350时, 确定x1 = 250, x2 = 250, x3 = 50.
若x4 = 200, 则x1 = 100, x2 = 400, x3 = -100 < 0. 这表明单行线“③¬④”应该改为“③®④”才合理.
【模型分析】(1) 由(A, b)的行最简形可见, 上述方程组中的最后一个方程是多余的. 这意味着最后一个方程中的数据“300”可以不用统计.
(2) 由可得, , , 这就是说x1, x2, x3, x4这四个未知量中, 任意一个未知量的值统计出来之后都可以确定出其他三个未知量的值.
参考文献
陈怀琛, 高淑萍, 杨威, 工程线性代数, 北京: 电子工业出版社, 2007. 页码: 16-17.
Matlab实验题
某城市有下图所示的交通图, 每条道路都是单行线, 需要调查每条道路每小时的车流量. 图中的数字表示该条路段的车流数. 如果每个交叉路口进入和离开的车数相等, 整个图中进入和离开的车数相等.
300
500
150
180
350
160
220
300
100
290
400
150
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x10
x11
x12
图4 某城市单行线车流量
(1)建立确定每条道路流量的线性方程组.
(2)分析哪些流量数据是多余的. 500多余
(3)为了唯一确定未知流量, 需要增添哪几条道路的流量统计.
案例二. 配方问题
在化工、医药、日常膳食等方面都经常涉及到配方问题. 在不考虑各种成分之间可能发生某些化学反应时, 配方问题可以用向量和线性方程组来建模.

图5 日常膳食搭配图6 几种常见的作料
【模型准备】一种佐料由四种原料A、B、C、D混合而成. 这种佐料现有两种规格, 这两种规格的佐料中, 四种原料的比例分别为2:3:1:1和1:2:1:2.