人教版高一数学必修五课件数学归纳法.ppt

§ 数学归纳法
要点梳理

由一系列有限的特殊事例得出的推理

及事物的全体或部分可分为归纳法和
归纳法.
一般结论
完全
不完
全
基础知识自主学习

(1)数学归纳法:设{Pn}是一个与正整数相关的
命题集合,如果①证明起始命题P1(或P0)
成立;②在假设Pk成立的前提下,推出Pk+1
也成立,那么可以断定{Pn}对一切正整数成立.
(2)数学归纳法证题的步骤
①(归纳奠基)证明当n取第一个值时,命题
成立.
②(归纳递推)假设(k≥n0,k∈N+)时命题
成立,证明当时命题也成立.
只要完成这两个步骤就可以断定命题对从n0开始
的所有正整数n都成立.
n=n0
n=k
n=k+1
基础自测
:“1+a+a2+…+an+1
(a≠1)”在验证n=1时,左端计算所得的项
为( )
+a
+a+a2 +a+a2+a3
C

条时,第一步检验第一个值n0等于( )

解析边数最少的凸n边形是三角形.
C
(n)对n=k成立,则它对n=k+2也成立.
若p(n)对n=2成立,则下列结论正确的是( )
(n)对所有正整数n都成立
(n)对所有正偶数n都成立
(n)对所有正奇数n都成立
(n)对所有自然数n都成立
解析归纳奠基是:n=2成立.
归纳递推是:n=k成立,则对n=k+2成立.
∴p(n)对所有正偶数n都成立.
B
,若n=k(k∈N+)时命题
成立,那么可推得当n=k+1时该命题也成立,现
已知n=5时,该命题不成立,那么可以推得( )
=6时该命题不成立 =6时该命题成立
=4时该命题不成立 =4时该命题成立
解析方法一由n=k(k∈N+)成立,可推得当
n=k+=4成立,必有
n==5不成立,所以n=4一定不成立.
方法二其逆否命题“若当n=k+1时该命题不成
立,则当n=k时也不成立”为真,故“n=5时不
成立”“n=4时不成立”.
C
+2+3+…+n2= ,则当
n=k+1时左端应在n=k的基础上加上( )
+1
B.(k+1)2
C.
D.(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2
解析∵当n=k时,左边=1+2+3+…+k2,
当n=k+1时,
左边=1+2+3+…+k2+(k2+1)+…+(k+1)2,
∴当n=k+1时,左端应在n=k的基础上加上
(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2.
C
题型一用数学归纳法证明等式
用数学归纳法证明:
对任意的n∈N+,
用数学归纳法证明的步骤为:①归纳
奠基:验证当n=1时结论成立;②归纳递推:假
设当n=k(k∈N+)时成立,推出当n=k+1时结论
也成立.
题型分类深度剖析
证明
所以等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N+)时等式成立,即有
所以当n=k+1时,等式也成立.
由(1)(2)可知,对一切n∈N+等式都成立.
用数学归纳法证明与正整数有关的一
些等式时,关键在于“先看项”,弄清等式两边
的构成规律,等式的两边各有多少项,项的多少与
n的取值是否有关,由n=k到n=k+1时等式的两边变
化的项,然后正确写出归纳证明的步骤,使问题
得以证明.