向量在平面几何解题中的应用.ppt

向量在平面几何中解题的应用一、向量有关知识复****1)向量共线的充要条件:与共线(2)向量垂直的充要条件:(3)两向量相等充要条件:且方向相同。二、应用向量知识证明平面几何有关定理例一、证明直径所对的圆周角是直角ABCO如图所示,已知⊙O,AB为直径,C为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90°分析:要证∠ACB=90°,只须证向量,即。解:设则,由此可得:即,∠ACB=90°思考:能否用向量坐标形式证明?二、应用向量知识证明平面几何有关定理例二、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和ABDC已知:平行四边形ABCD。求证:解:设,则分析:因为平行四边形对边平行且相等,故设其它线段对应向量用它们表示。∴三、应用向量知识证明三线共点、三点共线例一、已知:如图AD、BE、CF是△ABC三条高求证:AD、BE、CF交于一点FABCDEABCDEH分析:思路一:设AD与BE交于H,只要证CH⊥AB,即高CF与CH重合,即CF过点H只须证由此可设如何证?利用AD⊥BC,BE⊥CA,对应向量垂直。三、应用向量知识证明三线共点、三点共线例一、已知:如图AD、BE、CF是△ABC三条高求证:AD、BE、CF交于一点ABCDEH解:设AD与BE交于H,即高CF与CH重合,CF过点H,AD、BE、CF交于一点。三、应用向量知识证明三线共点、三点共线例一、已知:如图AD、BE、CF是△ABC三条高求证:AD、BE、CF交于一点HFABCDE分析:如图建立坐标系,设A(0,a)B(b,0)C(c,0)只要求出点H、F的坐标,就可求出、的坐标进而确定两向量共线,即三点共线。再设H(0,m)F(x,y)由A、B、F共线;CF⊥AB对应向量共线及垂直解得:可得:可得:即而CF、CH有公共点C,所以C、H、F共线,即AD、BE、CF交于一点三、应用向量知识证明三线共点、三点共线例二、如图已知△ABC两边AB、AC的中点分别为M、N,在BN延长线上取点P,使NP=BN,在CM延长线上取点Q,使MQ=CM。求证:P、A、MQP解:设则由此可得即故有,且它们有公共点A,所以P、A、Q三点共线四、应用向量知识证明等式、求值例一、如图ABCD是正方形M是BC的中点,将正方形折起,使点A与M重合,设折痕为EF,若正方形面积为64,求△AEM的面积ABCDMNEF分析:如图建立坐标系,设E(e,0)M(4,2),N是AM的中点,故N(2,1)=(2,1)-(e,0)=(2-e,1)解得:e=△AEM的面积为5四、应用向量知识证明等式、求值例一、如图ABCD是正方形M是BC的中点,将正方形折起,使点A与M重合,设折痕为EF,若正方形面积为64,求△AEM的面积ABCDMNEF解:如图建立坐标系,设E(e,0),由正方形面积为64,可得边长为8由题意可得M(8,4),N是AM的中点,故N(4,2)=(4,2)-(e,0)=(4-e,1)解得:e=5即AE=5