高考数学专题复习系列之一(导数).doc

Ⅲ导数
一、考试要求;
了解导数的实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线的斜率等),掌握函数在某点处的导数的定义和导数的几何意义,理解导数的概念。
熟记导数的基本公式,掌握两个函数的和、差、积、商的导数的求导法则,了解复合函数导数的求导法则,会求某些简单函数的导数;
理解可导函数的单调性与其导数的关系,了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件,会求一些实际问题的最大值和最小值。
二、高考试题回放:
1、(广东卷)函数是减函数的区间为( )
(A)(B)(C)(D)
2.(全国卷Ⅰ)函数,已知在时取得极值,则=( )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
-2
2
O
1
-1
-1
1
3. (湖北卷)在函数的图象上,其切线的倾斜角小于的点中,坐标为整数的点的个数是( )

4.(江西)已知函数的图象如右图所示(其中是函数的导函数),下面四个图象中的图象大致是( C)
O
-2
2
1
-1
-2
1
2
O
-2
-2
2
1
-1
1
2
O
-2
4
1
-1
-2
1
2
O
-2
2
-1
2
4
A
B
C
D
5.(浙江)函数y=ax2+1的图象与直线y=x相切,则a=( )
(A) (B) (C) (D)1
6. (重庆卷)曲线y=x3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为______8/3____。
7.(江苏卷)(14)曲线在点(1,3)处的切线方程是
8. ( 全国卷III)曲线在点(1,1)处的切线方程为x+y-2=0
9. (北京卷)过原点作曲线y=ex的切线,则切点的坐标为(1, e); ,切线的斜率为e .
三、高考试题分析
1.(全国卷Ⅱ)设a为实数,函数
(Ⅰ)求的极值.
(Ⅱ)当a在什么范围内取值时,曲线轴仅有一个交点.
解:(I)=3-2-1
若=0,则==-,=1
当变化时,,变化情况如下表:
(-∞,-)
-
(-,1)
1
(1,+∞)
+
0
-
0
+
极大值
极小值
∴的极大值是,极小值是
(II)函数
由此可知,取足够大的正数时,有>0,取足够小的负数时有<0,所以曲线=与轴至少有一个交点
结合的单调性可知:
当的极大值<0,即时,它的极小值也小于0,因此曲线=与轴仅有一个交点,它在(1,+∞)上。
当的极小值-1>0即(1,+∞)时,它的极大值也大于0,因此曲线=与轴仅有一个交点,它在(-∞,-)上。
∴当∪(1,+∞)时,曲线=与轴仅有一个交点。
2、(全国卷Ⅱ)已知a≥ 0 ,函数f(x) = ( -2ax )
当X为何值时,f(x)取得最小值?证明你的结论;
(2)设 f(x)在[ -1,1]上是单调函数,求a的取值范围.
解:(I)对函数求导数得
令得[+2(1-)-2]=0从而+2(1-)-2=0
解得
当变化时,、的变化如下表






+
0
-
0
+
递增
极大值
递减
极小值
递增
∴在=处取得极大值,在=处取得极小值。
当≥0时,<-1,在上为减函数,在上为增函数
而当时=,当x=0时,
所以当时,取得最小值
(II)当≥0时,在上为单调函数的充要条件是
即,解得
于是在[-1,1]上为单调函数的充要条件是
即的取值范围是
3、. ( 全国卷III)用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?
解:设容器的高为x,容器的体积为V,1分
则V=(90-2x)(48-2x)x,(0<V<24)5分
=4x3-276x2+4320x
∵V′=12 x2-552x+4320……7分
由V′=12 x2-552x+4320=0得x1=10,x2=36
∵x<10 时,V′>0,
10<x<36时,V′<0,
x>36时,V′>0,
所以,当x=10,V有极大值V(10)=1960
又V(0)=0,V(24)=0,
所以当x=10,V有最大值V(10)=1960
4、( 全国卷III)已知函数,
(Ⅰ)求的单调区间和值域;
(Ⅱ)设,函数,若对于任意,总存在,使得成立,求的取值范围
解:对函数求导,得

令解得或
当变化时,、的变化情况如下表:
x
0
0
所以,当时,是减函数;当时,是增函数;
当时,的值域为
(Ⅱ)对函数求导,得