[原创]2011届高考数学第二轮专题复习系列(2)--_函数.doc

高三数学第二轮专题复习系列(2)-- 函数
一、本章知识结构:
函数的三要素
函数的表示法
函数的性质
反函数
函数的应用
初等函数
基本初等函数:
指数函数
对数函数
对数
指数
映射
函数射
二、高考要求
(1)了解映射的概念,理解函数的概念.
(2)了解函数的单调性和奇偶性的概念,掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法,并能利用函数的性质简化函数图像的绘制过程.
(3)了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间关系,会求一些简单函数的反函数.
(4)理解分数指数的概念,、图像和性质.
(5)理解对数的概念,、图像和性质.
(6)能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.
三、热点分析
函数是高考数学的重点内容之一,函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程,包括解决几何问题。在近几年的高考试卷中,选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题,而且常考常新。以基本函数为背景的应用题和综合题是高考命题的新趋势。
考试热点:①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象。②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念,通过对实际问题的抽象分析,建立相应的函数模型并用来解决问题,是考试的热点。
③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题,渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想。
四、复习建议
1. 认真落实本章的每个知识点,注意揭示概念的数学本质
①函数的表示方法除解析法外还有列表法、图象法,函数的实质是客观世界中量的变化的依存关系;
②中学数学中的“正、反比例函数,一次、二次函数,指数、对数函数,三角函数”称为基本初等函数,其余的函数的解析式都是由这些基本初等函数的解析式形成的. 要把基本初等函数的图象和性质联系起来,并且理解记忆;
③掌握函数单调性和奇偶性的一般判定方法,并能联系其相应的函数的图象特征,加强对函数单调性和奇偶性应用的训练;
④注意函数图象的变换:平移变换、伸缩变换、对称变换等;
⑤掌握复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性;
⑥理解掌握反函数的概念,会求反函数,弄清互为反函数的两个函数的定义域、值域、单调性的关联及其图像间的对称关系。
2. 以函数知识为依托,渗透基本数学思想和方法
①数形结合的思想,即要利用函数的图象解决问题;
②建模方法,要能在实际问题中引进变量,建立函数模型,进而提高解决应用题的能力,培养函数的应用意识。
3. 深刻理解函数的概念,加强与各章知识的横向联系
要与时俱进地认识本章内容的“双基”,准确、深刻地理解函数的概念,才能正确、灵活地加以运用,养成自觉地运用函数观点思考和处理问题的习惯;高考范围没有的内容例如指数不等式(方程)、对数不等式(方程)等不再作深入研究;导数可用来证明函数的单调性,求函数的最大值和最小值,并启发学生建构更加完整的函数知识结构。
所谓函数思想,实质上是将问题放到动态背景上去考虑,利用函数观点可以从较高的角度处理式、方程、不等式、数列、曲线等问题。
五、典型例题
设,则= 1 。
解:由=0,解得
已知函数和定义在R上的奇函数,当x>0时,,试求的反函数。
解:
已知函数是奇函数,又,求a、b、c的整数值。
解:由,又由,从而可得a=b=1;c=0
⑴已知,求
⑵在上的最小值为;试写出的解析式。
解:⑴, ()
⑵
已知函数,若的最大值为n,求的表达式。
解:
设是R上的偶函数,且在区间上递增,若成立,求a的取值范围。
解:
故为所求。
比较的大小。
解:作差比较大小:
当m > 1或0 < m < 1。都有u > 0
故。
设。(1)证明在上是增函数;(2)求及其
定义域
解:(1)
任取,且
是增函数,
在上是增函数
(2);定义域R,值域(-1, 1)
反解:

定义在R上的函数满足:对任意实数,总有,且当时,.
(1)试求的值;
(2)判断的单调性并证明你的结论;
(3)设,若,试确定的取值范围.
(4)试举出一个满足条件的函数.
解:(1)在中,:
.
因为,所以,.
(2)要判断的单调性,可任取,且设.
在已知条件中,若取,则已知条件可化为:.
由于,所以.
为比较的大小,只需考虑的正负即可.
在中,令,,则得.
∵时,,
∴当时,.
又,所以,综上,可知,对于任意,均有.
∴.
∴函数在R上单调递减.
(3)首先利用的单调性,将有关函数值的不等式转化为不含的式子.
,
,即.
由,所以,,