高考高中升学考试专项训练专项复习——求轨迹方程_人教版.doc

专题复习——求轨迹方程
一. 本周教学内容:
专题复习——求轨迹方程
(一)求轨迹方程的一般方法:
1. 待定系数法:如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线)的定义,则可先设出轨迹方程,再根据已知条件,待定方程中的常数,即可得到轨迹方程,也有人将此方法称为定义法。
2. 直译法:如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断,但点P满足的等量关系易于建立,则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系,再用点P的坐标(x,y)表示该等量关系式,即可得到轨迹方程。
3. 参数法:如果采用直译法求轨迹方程难以奏效,则可寻求引发动点P运动的某个几何量t,以此量作为参变数,分别建立P点坐标x,y与该参数t的函数关系x=f(t),y=g(t),进而通过消参化为轨迹的普通方程F(x,y)=0。
4. 代入法(相关点法):如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的,而该点的运动规律已知,(该点坐标满足某已知曲线方程),则可以设出P(x,y),用(x,y)表示出相关点P'的坐标,然后把P'的坐标代入已知曲线方程,即可得到动点P的轨迹方程。
(二)求轨迹方程的注意事项:
1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中,发现动点P的运动规律,即P点满足的等量关系,因此要学会动中求静,变中求不变。

来表示,若要判断轨迹方程表示何种曲线,则往往需将参数方程化为普通方程。
3. 求出轨迹方程后,应注意检验其是否符合题意,既要检验是否增解,(即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上),又要检验是否丢解。(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示),出现增解则要舍去,出现丢解,则需补充。检验方法:研究运动中的特殊情形或极端情形。
【典型例题】
例1.
轨迹方程。
分析:题中涉及了三个点A、B、M,其中A为定点,而B、M为动点,且点B的运动是有规律的,显然M的运动是由B的运动而引发的,可见M、B为相关点,故采用相关点法求动点M的轨迹方程。
解:设动点M的坐标为(x,y),而设B点坐标为(x0,y0)
则由M为线段AB中点,可得

即点B坐标可表为(2x-2a,2y)




例2.
点A的轨迹方程。
分析:先画出示意图,如图所示:根据已知条件:动椭圆过M(1,2)且以y轴为其准线,可见该椭圆位于y轴右侧,注意到点M在椭圆上,故联想到椭圆的几何性质:椭圆上任一点到焦点的距离与到相应准线的距离之比等于离心率。即可发现间接涉及动顶点A的等量关系。只需用A的坐标先表示出左焦点F的坐标,即可列出轨迹方程。
解:


又∵M在椭圆上,



例3. 过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1交x轴于A点,l2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程。
分析1:设M(x,y),由已知l1⊥l2,联想到两直线垂直的充要条件:k1k2=-1,即可列出轨迹方程,关键是如何用M点坐标表示A、B两点坐标。事实上,由M为AB的中点,易找出它们的坐标之间的联系。
解法1:设M(x,y),∵M为AB中点,∴A(2x,0),B(0,2y)。
又l1,l2过点P(2,4),且l1⊥l2
∴PA⊥PB,从而kPA·kP