α.ppt

α
β
a
A
B
两个平面平行的判定定理:
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面相互垂直。
A
B
C
D
S
O
已知:ABCD为正方形,SD⊥平面AC,
问:图中所示的7个平面中,共有多少个平面互相平行?
思考题?
⊥平面ABCD
⊥平面ABCD
⊥平面ABCD
⊥平面SCD
⊥平面SCD
⊥平面SAD
⊥平面SBD
两个平面垂直的性质定理:
如果两个平面垂直,那么在第一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面的直线。
例1已知: α⊥β,P∈α,P∈a, a⊥β.
求证:a α.
∩
β
α
a
P
b
c
证明:设α∩β= c,过点P在平面α内作直线b⊥ c,根据上面的定理有b⊥β.
因为经过一点只能有一条直线与平面β垂直,所以直线a应与b直线重合.
所以a α.
∩
如果两个平面垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,再第一个平面。
例1已知: α⊥β,P∈α,P∈a, a⊥β.
求证:a α.
∩
β
α
a
P
例2 求证:垂直于同一平面的两平面的交线垂直于这个平面。
证法一
证法二
证法三
γ
α
β
a
已知:α⊥γ,β⊥γ,α∩β= а,
求证: a⊥γ.
例垂直于同一平面的两平面的交线垂直于这个平面。
已知:α⊥γ,β⊥γ,α∩β= а,求证: a⊥γ.
证法一:
γ
α
β
a
b
c
P
M
N
设α∩γ=b, β∩γ=c,在γ内任取一点P,作PM ⊥ b于M,PN ⊥C于N.
因为α⊥γ,β⊥γ,
所以 PM ⊥α, PN ⊥β.
因为α∩β= a,
所以 PM ⊥ a, PN ⊥ a,
所以 a⊥γ.
线线垂直
线面垂直
γ
α
β
a
已知:α⊥γ,β⊥γ,α∩β= а,求证: a⊥γ.
证法二:
P
b
任取P∈a,过点P作b⊥γ.
∩
∩
因为α⊥γ,
所以b α,
因为β⊥γ,
因此b β,
故α∩β= b.
由已知α∩β= a,
所以a与 b重合,
所以a ⊥γ.
同一法
γ
α
β
a
已知:α⊥γ,β⊥γ,α∩β= а,求证: a⊥γ.
证法三:
b
c
b′
c′
设α⊥γ于b,β⊥γ于c.
在α内作 b′⊥ b, 所以 b′⊥γ.
同理在β内作c′⊥ c,有c ′⊥γ,
所以 b′‖c′,
∩
∩
∩
又b′β, c′β, 所以 b′‖β.
又 b′α, α∩β=a,
所以 b′‖ a,
故 a ⊥γ.
线线平行
线面垂直