高考数学抽象函数的周期与对称轴.doc

抽象函数的周期与对称轴
一. 教学内容
抽象函数的周期与对称轴
二. 教学重、难点
重点:抽象函数周期与对称轴的相关结论。
难点:结论的推导证明,利用结论解决问题。
三. 具体内容
1. 若则的周期为T。
2. 若则的周期为
证:令∴
3. 则的周期
证:令∴①
令∴②
由①②得:
∴∴
4. 若则图象的对称轴为
证:要证原结论成立,只需证
令代入
则
5. 若则的图象,以为对称中心。
证:
方法一:要证原结论成立只需证
令代入
则
方法二:设它的图象为C
则P关于点的对称点

∵∴∴
【典型例题】
[例1] 对于,有下列命题。
(1)在同一坐标系下,函数与的图象关于直线对称。
(2)若且均成立,则为偶函数。
(3)若恒成立,则为周期函数。
(4)若为单调增函数,则(且)也为单调增函数,其中正确的为?
解:(2)(3)
[例2] 若函数有求。
解:
,知的图象关于对称
而的对称中心∴
∴则
[例3] 设是定义在R上的函数,均有当时,求当时,的解析式。
解:由有得
设则
∴
∴时
[例4] 已知是定义在R上的函数且满足,当时有则
(1)是周期函数且周期为2
(2)当时,
(3)其中正确的是?
解:(1)(2)(3)
[例5] 已知满足,,当时,且,若,,求、、的大小关系?
解:由已知得,对称轴∴也为一条对称轴
∴∴由∴∴
∴,, ∴
[例6] 定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数,若的最小正周期是,且当时,求的值。
解:
[例7] 设定义在R上,有且当时,
(1)求证:且当时,
(2)求证:在R上递减。
解:
(1)在中,令,得
∵∴
设,则令,代入条件式
有而∴
(2)设则∴
令,则代入条件式得即∴∴在R上递减
【模拟试题】
一. 选择
1. 已知满足,且是奇函数,若则
( )
A. B. C. D.
2. 已知是定义在R上的偶函数,且对任何实数均成立,当时,,当时,( )
A. B. C. D.
3. 若函数,都有则等于( )
A. 0 B. 3 C. D. 3或
4. 函数是( )
A. 周期为的奇函数 B. 周期为的偶函数
C. 周期为的奇函数 D. 周期为的奇函数
5. 的图象关于y轴对称的充要条件是( )
A. B. C. D.
6. 如果且则可以是( )
A. B. C. D.
7. 为偶函数的充要条件是( )
A. B. C. D.
8. 设是R上的奇函数,当时,,则( )
A. B. C. D.
9. 设,有那么( )
A. B.
C. D.
10. 定义在R上,则与的图象关于( )
A. 对称 B. 对称 C. 对称 D. 对称
二. 填空
1. 是R上的奇函数,且,则
。
2. 函数的图象的对称