集合论讲义.doc

(一)、不同的东西的全体,人们能意识到这些东西,并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。一般地,我们把研究对象统称为元素(element),一些元素组成的总体叫集合(set),也简称集。(1)确定性:设A是一个给定的集合,x是某一个具体对象,则或者是A的元素,或者不是A的元素,两种情况必有一种且只有一种成立。(2)互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,同一集合中不应重复出现同一元素。(3)无序性:给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。(4)集合相等:构成两个集合的元素完全一样。(1)如果a是集合A的元素,就说a属于(belongto)A,记作:a∈A(2)如果a不是集合A的元素,就说a不属于(notbelongto)A,记作::集合通常用大写的拉丁字母A,B,C…表示,集合的元素用小写的拉丁字母a,b,c,…表示。:非负整数集(或自然数集),记作N;正整数集,记作N*或N+;整数集,记作Z;有理数集,记作Q;实数集,记作R;(二),但这将给我们带来很多不便,除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。:把集合中的元素一一列举出来,并用花括号“”括起来表示集合的方法叫列举法。如:{1,2,3,4,5},{x2,3x+2,5y3-x,x2+y2},…;说明:①集合中的元素具有无序性,所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。各个元素之间要用逗号隔开; ②元素不能重复;③集合中的元素可以数,点,代数式等; ④对于含有较多元素的集合,用列举法表示时,必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号,象自然数集N用列举法表示为描述法:(1)定义:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在花括号{ }内。(2)具体方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。(3)一般格式:如:{x|x-3>2},{(x,y)|y=x2+1},{x︳直角三角形},…;(4)说明:①描述法表示集合应注意集合的代表元素,如{(x,y)|y=x2+3x+2}与{y|y=x2+3x+2}是不同的两个集合,只要不引起误解,集合的代表元素也可省略,例如:{x︳整数},即代表整数集Z。②这里的{ }已包含“所有”的意思,所以不必写{全体整数}。下列写法{实数集},{R}也是错误的。③列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。集合间的基本关系子集(包含)利用集合的包含关系解题集合的包含关系是一重要知识点和高考考查点,它在题目中或明或暗,特别是“暗”(综合型题目)的。如果你对集合的包含关系没有一个深刻的认识与理解,往往就很难捕捉到,也就很难解决问题。如何准确把握与深入挖掘这一关系,利用这一关系解题呢?例1:已知函数(I)求的单调区间和值域;(II)设,函数,若对于任意,总存在,使得成立,求a的取值范围