用等量代换求面积.doc

莈用等量代换求面积薅一个量可以用它的等量来代替;被减数和减数都增加(或减少)同一个数,它们的差不变。前者是等量公理,后者是减法的差不变性质。这两个性质在解几何题时有很重要的作用,它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积,或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差,从而使隐蔽的关系明朗化,找到解题思路。薃例1两个相同的直角三角形如下图所示(单位:厘米)重叠在一起,求阴影部分的面积。螈肈分析与解:阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形,然而它的上底与下底都不知道,因而不能直接求出它的面积。因为三角形ABC与三角形DEF完全相同,都减去三角形DOC后,根据差不变性质,差应相等,即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等,所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。直角梯形OEFC的上底为10-3=7(厘米),面积为(7+10)×2÷2=17(厘米2)。薇所以,阴影部分的面积是17厘米2。蚁例2在右图中,平行四边形ABCD的边BC长10厘米,直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2,求平行四边形ABCD的面积。蒂衿分析与解:因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2,都加上梯形FGCB后,根据差不变性质,所得的两个新图形的面积差不变,即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2,所以平行四边形ABCD的面积等于莄 10×8÷2+10=50(厘米2)。肃例3在右图中,AB=8厘米,CD=4厘米,BC=6厘米,三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2。求ED的长。袁蕿分析与解:求ED的长,需求出EC的长;求EC的长,需求出直角三角形ECB的面积。因为三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2,这两个三角形都加上四边形FDCB后,其差不变,所以梯形ABCD比三角形ECB的面积大18厘米2。也就是说,只要求出梯形ABCD的面积,就能依次求出三角形ECB的面积和EC的长,从而求出ED的长。蒅梯形ABCD面积=(8+4)×6÷2=36(厘米2),膂三角形ECB面积=36-18=18(厘米2),莁 EC=18÷6×2=6(厘米),肅 ED=6-4=2(厘米)。蒇例4下页上图中,ABCD是7×4的长方形,DEFG是10×2的长方形,求三角形BCO与三角形EFO的面积之差。薄螀分析:直接求出三角形BCO与三角形EFO的面积之差,不太容易做到。如果利用差不变性质,将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差,而这两个图形的面积之差容易求出,那么问题就解决了。螆解法一:连结B,E(见左下图)。三角形BCO与三角形EFO都加上三角形BEO,则原来的问题转化为求三角形BEC与三角形BEF的面积之差。所求为4×(10-7)÷2-2×(10-7)÷2=3。芄蚃解法二:连结C,F(见右上图)。三角形BCO与三角形EFO都加上三角形CFO,则原来的问题转化为求三角形BCF与三角形ECF的面积之差。所求为4×(10-7)÷2-2×(10-7)÷2=3。腿解法三:延长BC交GF于H(见下页左上图)。三角形BCO与三角形EFO都加上梯形COFH,则原来的问题转化为求三角形BHF与矩形CEFH的面积之差。所求为(4+2)×(10-7)÷2-2×(10-7)=3。薆莅解法四:延长AB,FE交于H(见右上图)。三角形BCO与三角