第一章 矢量分析与场论基础.doc

芃第一章矢量分析与场论基础艿莇内容提要芇肅正交曲线坐标系:节设有三组互相正交的曲面族由下列方程定义:蒆莄在正交曲线坐标中的线元、面元、体元分别为蒃肁薆螅膅式中、、代表循环量1、2、3,,,称拉梅系数。袀袀三种坐标系中坐标单位矢量间的关系:膆蚃柱坐标与直角坐标袃羀薇球坐标与柱坐标莅蚂肀球坐标与直角坐标羈袂矢量及其运算:蒁直角坐标中算符的定义:膀膄一个标量函数的梯度为:薄腿梯度给出了一点上函数随距离变化的最大速率,它指向增大的方向。芀薅一个矢量穿过一个曲面的通量为羂节对一个闭合曲面而言,向外为正。莀羆直角坐标系中的散度螄羁表示在这一点上每单位体积向外发散的的通量。蒀莇散度定理:膂螀其中是由所包围的体积。葿蒄斯托克斯定理:袄蕿其中是由所包围的面积。蕿袅直角坐标系中的旋度莂薂虿拉普拉辛是梯度的散度芆在直角坐标系中:肄莁一个矢量的拉普拉辛定义为:蝿蚇其它坐标也可写成:蒁肀柱坐标系中衿肈芃膂罿芄羅膈芅球坐标系中袂蚀袇莅芃莂蚆莅蚄亥姆霍兹定理:螀矢量场可表示为一个无旋场分量和一个无散场分量之和虿蒅其中螁蒁蒈因此一个矢量场要从散度和旋度两个方面去研究薅膁函数罿定义:芆蚅性质a)偶函数:薂b)取样性:蚁艿有机会用到的表达式:螅羃腿证明:肈袅=18+6-24莄=0袁说明相互垂直螇羄空白薁艿证明:薆羄说明相互垂直羂肁解:虿当坐标变量沿坐标轴由增至时,相应的线元矢量为:肄莃=葿=莈其中弧长膄其中螄膀***令芄则膅蚈解:腿(1)据算子的微分性质,并按乘积的微分法则,有莄芁其中、暂时视为常矢,再根据二重矢量积公式莀羈将上式右端项的常矢轮换到的前面,使变矢都留在的后面蒄蚂肂则螇薄除去下标c即可肃薀(2)利用(1)式的结果即可。蒆(3)据算子的微分性质,并按乘积的微分法则,有薃蒄再算子的矢量性,并据公式节蕿将常矢轮换到的前面蚃蚁蚀代入得:芈螃肂蒂肇证:***蒃衿肀证:***右边第一项的分量袄同理薁袈则芇芄