第一章 矢量分析与场论基础.doc

第一章 矢量分析与场论基础.doc第一章矢量分析与场论基础内容提要1)正交曲线坐标系:设有三组互相正交的1111面族由下列方稈定义:<71=G°,y,z)q?=乞(x,)‘,z)如=如(禺)',?)在正交曲线坐标屮的线元、血元、体元分别为业=hjdqi式屮i、j、k代表循环量1、2、3COS0=-sin(pU=q^dq,ds{=dl)xdlk= ^^.dqjdqkdv=dlf-dljxdlk=hjh-h^lq^lqjdqkA 八 八G=qjXqk三种坐标系屮坐标单位矢量间的关系:柱坐标与肓角坐标cos。0sin&0球坐标与柱坐标5sin0cos0sin&sin©COS&—COS。COS0cos&sin©一sin。A一sin0COS00A_球坐标与尙角坐标2)矢量及其运算:直角坐标屮算符▽的定义:口 8 . 5 . 8 .V=——er+——ev+——e7dxx労〉比2一个标量函数U的梯度为:厂 8u. du、 du.\u=——eY+——ev+——jdx dy dz梯度给出了-•点上函数"随距离变化的最大速率,它指向〃增大的方向。一个矢量f穿过一个miis的通量屮为对一个闭合1111面而言,页向外为正。冇•角坐标系屮戶的散度▽•弘坐+些+尘dxdy&表示在这一点上每单位体积向外发散的戸的通量。散度定理:V•Fdv•ds其中v是由s所包围的体积。斯托克斯定理:其屮$是由/所包围的面积。|(VxF).^=p•dl真角坐标系屮F的旋度拉普拉辛是梯度的散度在直角坐标系屮:学+学+卑dx2dy1dz2一个矢量的拉普拉辛定义为:V2F=V2FX+V2rvev+V2rcez其它坐标也可写成:V2Fv=V(V-F)-VxVxF柱坐标系屮dr=dpep+ed(pe^+=pclpclqxlz厂du 1du =——e“ jH jdp pd(p dz'+丄生+竺p8(p5zVxF=—P1d2ud2u皿=丄字+卑+pdp8/rp一6((rdv球坐标系屮r==drer+rd0eG+广sinOcl(pe(padv=厂s\x\OdrdOcl(p1 du八 e厂sin。d(p—- 1 z9„x 1 8 , •店、 1 £F、▽•"戸示(Y・)+歸丽伽吧)+离而(莎)dO厂sin。r_d_d(prs\x\OF(0d2ududrr~sin^dOd(Si加)+..rdOr2sin20d(p23) 亥姆霍兹定理:矢量场F可表示为一个无旋场分量和一个无散场分量之和4E+E其中▽.戸=▽•E(▽・F=0)VxF=VxF(VxFz=0)因此一个矢量场要从散度和旋度两个方面去研究4) 3函数定义: ^(r-;)4° ("◎[oo(r=尸)p(r-;')Jv屮西外)」 〔1(厂在V内)性质a)偶函数:〃(兀)=》(-对b)取样性:f(x)3(x-a'jdx=/(6Z)有机会用到的表达式:一191J(r-rf)=——V2-4兀 |r-r*1-:AB=(N9+ey2-ez6)・(N2+ey3+ez4)=18+6-24=0说明2与鸟相互垂宜12空白13证明:A•B=+AyBy+A:Bz=0说明2与片相互垂頁1-:当坐标变量沿坐标轴由冷增至冷时,相应的线元矢量d厶为:dli=f(w/+dui)-y(ui)其中弧长其屮/=X_X_+无2兀+恳兀=工乞九>11-:(1)据▽算了的微分性质,并按乘积的微分法则,有V(A-B)=V(AcB)+V(A-B.)•其中兀-氏暂时视为常矢,再根据二重矢星积公式5x(/?xc)=(5-c)b-(5・b)c将上式右端项的常矢轮换到▽的前面,使变矢都留在▽的后面Ac=a V(Ac•B)=AcX(VxB)+(Ac•V)BBc=aV(A•Bt)=Bcx(VxA)+(BeV)A▽(A•B)=x(▽xB)+(/V• +&x(▽xA)+(Be•▽)/!除去下标c即可V(A•B)=Ax(VxB)+(A•V)B+Bx(VxA)+(B•V)A⑵利用仃)式的结果即可。(3)据▽算了的微分性质,并按乘积的微分法则,有V(ExH)=V(EexH)+V(ExH<)再▽算子的矢量性,并据公式5-(^xc)=c•(«x/;)=Z?•(cx5)将常矢轮换到▽的前面V-(EcxH)=-Ec(VxH)Ec=aV=bH=V(ExHc)=Hc(yxE)He=aV=b代入得:V(ExH)=Hc-(VxE)-Ec(VxH)=Z7(VxE)-E.(VxZ?)(1)证:A=—+—+dxdydzdAxdudAydudAzdu— 1 H dudxdudydudz=Vw•dAdu证:VxA(w)=eA(6AzdAy..,dAxdAz.、Z2AVdAxx )+ey{ )+ez( )労dzdzdxdx为右边第一项的丘同理(dudydudzdAxdudAzdududzdua?dA