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第六章逐次逼近法
第六章逐次逼近法
§ 基本概念
§ 线性方程组的迭代法
§ 非线性方程组的迭代法
§ 矩阵特征值问题的数值算法
§ 迭代法的加速
本章要点
本章主要介绍线性方程组的迭代法、非线性方程组
的数值方法
主要方法
基本迭代法、G-J迭代法、G-S迭代法、
Newton迭代法、SOR方法和Aitken加速方法
§ 基本概念
二维向量和三维向量都可以度量其大小和长度
高维向量的"长度"能否定义呢?
"范数"是对向量和矩阵的一种度量,实际上是二维
和三维向量长度概念的一种推广
数域: 数的集合,对加法和乘法封闭
线性空间: 可简化为向量的集合,对向量的加法和
数量乘法封闭,
也称为向量空间
一、向量和矩阵的范数
定义1. 对于n维向量空间 R n中任意一个向量 x,
若存在唯一一个实数 x Î R与x对应,且满足
(1) (正定性) x ³ 0,且"x Î R n , x = 0 Û x = 0;
(2) (齐次性) α x = α× x ,"x Î R n ,αÎ R;
(3) (三角不等式) x + y £ x + y ,"x, y Î R n .
则称 x 为向量 x的范数.
对于复线性空间C n中的向量范数可以类似定义
n n T
在向量空间 R (C )中,设x = (x1 , x2 ,L, xn )
常用的向量 x的范数有
2 2 2 1
L 2
x 2 = ( x1 + x2 + + xn ) --------(1)
x的2 ­ 范数或欧氏范数
x 1 = x1 + x2 + L + xn --------(2)
x的 1 ­ 范数
--------(3)
x = max xi
¥ 1 £ i £ n
x的¥ ­ 范数或最大范数
1
x p p p p
p = ( x1 + x2 + L + xn ) --------(4)
x的p ­ 范数, p ³ 1
x 和 x 是在和时的特例
显然 1 2 x p p = 1 p = 2
并且由于
1 p 1
p p p p £ (n max x ) p
max xi £ ( x1 + x2 + L + xn ) i
1£ i £ n 1 £ i £ n
1
p
= n max xi ® max xi ( p ® ¥ )
1 £ i £ n 1 £ i £ n
x ® x ( p ® ¥时), 所以也是的特例
p ¥ x ¥ x p
且
x ¥ £ x 2 £ x 1

x = (1,4,3,­1)T
解:
x 1 = x1 + x2 + L + x4 = 9
2 2 2 1
2
x 2 = ( x1 + x2 + L + x4 ) = 27 = 3 3
x = max xi = 4
¥ 1 £ i £ 4
定义2.
对于空间 R n´ n中任意一个矩阵 A,
若存在唯一一个实数 A Î R与A对应,且满足
(1) (正定性) A ³ 0,且"A Î R n´ n , A = 0 Û A = 0;
(2) (齐次性) α A = α× A ,"A Î R n´n ,αÎ R;
(3) (三角不等式) A + B £ A + B ,"A, B Î R n´n .
(4) AB £ A × B ,"A, B Î R n´n .
则称 A 为矩阵 A的范数.
对于复空间C n´n中的矩阵范数可以类似定义
例2. 设n阶方阵 A = (aij )n´ n 类似向量的 2-范数
1
æ n n ö 2
设 A = ç a 2 ÷
F çåå ij ÷ --------(5)
è i=1 j =1 ø
不难验证其满足定义2的4个条件
因此是一种矩阵范数
A F
称为Frobenius范数,简称F-范数
1 1
而且可以验证 T 2 T 2
A F = (tr( A A) ) = (tr( AA ) )
tr为矩阵的迹--------(6)